الرسم البياني للدالة
y
=
W
(
x
)
{\displaystyle y=W(x)}
x
<
6
{\displaystyle x<6}
y
>
−
4
{\displaystyle y>-4}
y
≥
−
1
{\displaystyle y\geq -1}
W
0
{\displaystyle W_{0}
y
≤
−
1
{\displaystyle y\leq -1}
W
−
1
{\displaystyle W_{-1}
x
{\displaystyle x}
(
−
1
e
,
−
1
)
{\displaystyle (-{\frac {1}{e},-1)}
في الرياضيات ، دالة لامبرت W أو دالة أوميغا ، هي دالة متعددة القيم ، والتي تساوي مجموعة فروع الدالة العكسية للدالة
f
(
w
)
=
w
e
w
{\displaystyle f(w)=we^{w}
w
{\displaystyle w}
عدد مركب و
e
w
{\displaystyle e^{w}
الدالة الأسية .
لكل عدد صحيح
k
{\displaystyle k}
W
k
(
z
)
{\displaystyle W_{k}({\text{z})}
W
0
{\displaystyle W_{0}
بالفرع الرئيسي . لهذه الدوال توجد خاصيّة: إذا كان
z
{\displaystyle {\text{z}
w
{\displaystyle w}
w
e
w
=
z
{\displaystyle we^{w}=z}
يحدث إذا وفقط إذا :
w
=
W
k
(
z
)
{\displaystyle w=W_{k}({\text{z})}
k
{\displaystyle k}
y
e
y
=
x
{\displaystyle ye^{y}=x}
لهذه المعادلة حل فقط لكل
x
≥
−
1
e
{\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}
y
=
W
0
(
x
)
{\displaystyle y=W_{0}(x)}
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
y
=
W
0
(
x
)
{\displaystyle y=W_{0}(x)}
y
=
W
−
1
(
x
)
{\displaystyle y=W_{-1}(x)}
−
1
e
≤
x
<
0
{\displaystyle -{\frac {1}{e}\leq x<0}
التوافقيات ، على سبيل المثال، في عد الأشجار . يمكن استخدامها لحل المعادلات التي تحتوي على أس (على سبيل المثال الحد الأقصى لمعادلة بلانك ، ومعادلة توزيع بوز-آينشتاين ، ومعادلة توزيع فيرمي-ديراك ).
تمت تسمية دالة لامبرت W على اسم عالم الرياضيات يوهان هاينريش لامبرت .
في بعض الأحيان الفرع الرئيسي
W
0
{\displaystyle W_{0}
W
p
{\displaystyle W_{p}
W
−
1
{\displaystyle W_{-1}
W
m
{\displaystyle W_{m}
في بعض الأحيان تسمى الدالة أيضًا " لوغاريتم المضروب " (product logarithm ) لأنه إذا كانت الدالة العكسية لـ
f
(
w
)
=
e
w
{\displaystyle f(w)=e^{w}
اللوغاريتم ، لذا فمن المنطقي تسمية الدالة العكسية للمضروب
w
e
w
{\displaystyle we^{w}
في الفرع الرئيسي سوف نتلقى
W
0
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle W_{0}'(0)=1}
وفقا لطريقة إيجاد مشتقة دالة مغلقة ، يمكن إثبات أنه بالنسبة لجميع فروع
W
{\displaystyle W}
معادلة تفاضلية عادية :
z
(
1
+
W
)
d
W
d
z
=
W
(
z
≠
−
1
e
)
{\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}=W\ \ \ (z\neq {\frac {-1}{e})}
(
W
{\displaystyle W}
z
=
−
1
e
{\displaystyle z=-{\frac {1}{e}
d
W
d
z
=
W
(
z
)
z
(
1
+
W
(
z
)
)
z
∉
{
0
,
−
1
e
}
{\displaystyle {\frac {dW}{dz}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}\ \ \ z\notin \{0,-{\frac {1}{e}\}
وباستخدام المتطابِقَة
e
W
(
z
)
=
z
W
(
z
)
{\displaystyle e^{W(z)}={\frac {z}{W(z)}
d
W
d
z
=
1
z
+
e
W
(
z
)
(
z
≠
−
1
e
)
{\displaystyle {\frac {dW}{dz}={\frac {1}{z+e^{W(z)}\ \ \ (z\neq -{\frac {1}{e})}
في الفرع الرئيسي سوف نحصل على
W
0
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle W_{0}'(0)=1}
يمكن تكامل الدالة
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
التكامل من خلال طريقة التعويض :
w
=
W
(
x
)
(
x
=
w
e
w
)
{\displaystyle w=W(x)\ \ \ (x=we^{w})}
∫
W
(
x
)
d
x
=
x
W
(
x
)
−
x
+
e
W
(
x
)
+
C
=
x
(
W
(
x
)
−
1
+
1
W
(
x
)
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\\ &=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}\right)+C\end{aligned}
المعادلة الثانية هي الأكثر استخداما، ولكنها غير معرفة لـ
x
=
0
{\displaystyle x=0}
إذا استخدمنا أن
W
0
(
e
)
=
1
{\displaystyle W_{0}(e)=1}
∫
0
e
W
0
(
x
)
d
x
=
e
−
1
{\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)dx=e-1}
هناك بعض التكاملات المحدودة المفيدة للفرع الرئيسي من الدالة W للامبرت. مثل:
∫
0
π
W
0
(
2
cot
2
x
)
sec
2
x
d
x
=
4
π
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }W_{0}(2\cot ^{2}x)\sec ^{2}xdx=4{\sqrt {\pi }
∫
0
∞
W
0
(
x
)
x
x
d
x
=
2
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}dx=2{\sqrt {2\pi }
∫
0
∞
W
0
(
1
x
2
)
d
x
=
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}\right)dx=2{\sqrt {\pi }
يمكن إيجاد المعادلة الأولى عن طريق كتابة التكامل الغوسي في الإحداثيات القطبية.
ويمكن إيجاد المعادلة الثانية باستخدام التعويض
u
=
W
0
(
x
)
{\displaystyle u=W_{0}(x)}
∫
W
(
x
)
x
d
x
=
W
(
x
)
2
2
+
W
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}dx={\frac {W(x)^{2}{2}+W(x)+C}
x
=
u
e
u
{\displaystyle x=ue^{u}
d
x
d
u
=
(
u
+
1
)
e
u
{\displaystyle {\frac {dx}{du}=(u+1)e^{u}
∫
0
∞
W
0
(
x
)
x
x
d
x
=
∫
0
∞
u
u
e
u
u
e
u
(
u
+
1
)
e
u
d
u
=
∫
0
∞
u
+
1
u
e
u
d
u
=
∫
0
∞
u
+
1
u
1
e
u
d
u
=
∫
0
∞
u
1
2
e
−
u
2
d
u
+
∫
0
∞
u
−
1
2
e
−
u
2
d
u
=
2
∫
0
∞
(
2
w
)
1
2
e
−
w
d
w
+
2
∫
0
∞
(
2
w
)
−
1
2
e
−
w
d
w
(
u
=
2
w
)
=
2
2
∫
0
∞
w
1
2
e
−
w
d
w
+
2
∫
0
∞
w
−
1
2
e
−
w
d
w
=
2
2
⋅
Γ
(
3
2
)
+
2
⋅
Γ
(
1
2
)
=
2
2
(
1
2
π
)
+
2
(
π
)
=
2
2
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}e^{-{\frac {u}{2}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}e^{-{\frac {u}{2}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}\right)+{\sqrt {2}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}\left({\tfrac {1}{2}{\sqrt {\pi }\right)+{\sqrt {2}\left({\sqrt {\pi }\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }.\end{aligned}
المعادلة الثالثة تنبع من المعادلة الثانية مع تعويض
u
=
x
−
2
{\displaystyle u=x^{-2}
z
=
1
2
tan
x
{\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {2}\tan x}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}e^{-{\frac {u}{2}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}e^{-{\frac {u}{2}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}\right)+{\sqrt {2}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}\left({\tfrac {1}{2}{\sqrt {\pi }\right)+{\sqrt {2}\left({\sqrt {\pi }\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }.\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f836d0b33ed568739bf7e32a1ded6e95b08c4429)
