عدد توافقي

في الرياضيات ، العدد التوافقي النوني هو مجموع مقلوبات أول n من الأعداد الطبيعية :$${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+\cdots +{\frac {1}{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}$$بدءًا من n = 1 ، يبدأ تسلسل الأعداد التوافقية:$${\displaystyle 1,{\frac {3}{2},{\frac {11}{6},{\frac {25}{12},{\frac {137}{60},\dots }$$ترتبط الأعداد التوافقية بالمتوسط التوافقي في أن العدد التوافقي النوني هو أيضًا n مضروبة في مقلوب المتوسط التوافقي للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n .

تمت دراسة الأعداد التوافقية منذ العصور القديمة وهي مهمة في مختلف فروع نظرية الأعداد . يطلق عليها أحيانًا اسم متسلسلة توافقية ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة ريمان زيتا ، وتظهر في تعبيرات دوال خاصة مختلفة.

يمكن إعطاء قيمة تقريبية للعدد التوافقي النوني من خلال دالة اللوغاريتم الطبيعي ^:143وبالتالي فإن المتسلسلة التوافقية المصاحبة تنمو بلا حدود ، وإن كان ذلك ببطء. في عام 1737 ، استخدم ليونارد أويلر تباعد المتسلسلة التوافقية لتقديم برهان جديد على لانهاية الأعداد الأولية . امتد عمله إلى المستوى المعقد بواسطة برنارد ريمان في عام 1859 ، مما أدى مباشرة إلى فرضية ريمان الشهيرة حول توزيع الأعداد الأولية .

من خلال مسلمة برتراند يمكن إستنتاج أن ، باستثناء الحالة n = 1 ، فإن الأعداد التوافقية ليست أعدادًا صحيحة أبدًا.^[1]

من خلال تعريها ، فإن الأعداد التوافقية تستوفي العلاقة$${\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}$$ترتبط الأعداد التوافقية بأعداد ستيرلنغ من النوع الأول من خلال العلاقة$${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}\left[{n+1 \atop 2}\right]}$$الدوال التالية$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}{n!}(\log x-H_{n})}$$تستوفي الخاصية$${\displaystyle f_{n}'(x)=f_{n-1}(x)}$$خاصه$${\displaystyle f_{1}(x)=x(\log x-1)}$$هو تكامل دالة اللوغاريثم الطبيعي.

الأعداد التوافقية تحقق متطابقات المتسلسلة$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}$$و$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n}$$

هناك العديد من صيغ الجمع اللانهائية التي تتضمن الأعداد توافقية و π :^[2] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}{n\cdot 2^{n}={\frac {1}{12}\pi ^{2}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}{(n+1)^{2}={\frac {11}{360}\pi ^{4}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}{n^{2}={\frac {17}{360}\pi ^{4}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}{n^{3}={\frac {1}{72}\pi ^{4}$$

هناك تمثيل تكاملي قدمه أويلر ^[3] هو$${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}{1-x}\,dx}$$الصيغة أعلاه يمكن إشتقاقها من خلال المطابقة الجبرية البسيطة$${\displaystyle {\frac {1-x^{n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}$$باستخدام التعويض x = 1 − u ، هناك تعبير آخر لـ H_n هو$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}{1-x}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}{u}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}{\binom {n}{k}\end{aligned}$$

• 978-0-201-89683-1
• إد سانديفر ، كيف فعل أويلر - تقدير مشكلة بازل (2003)