نصف قطر التقارب
في الرياضيات ، نصف قطر التقارب (بالإنجليزية : Radius of Convergence ) لمتسلسلة قوى هو نصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة، وهو إما عدد حقيقي غير سالب أو ∞.
وفقًا لمبرهنة كوشي-هادامار ، تعطى نصف قطر تقارب متسلسلة من الشكل
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}
، مع
a
n
,
x
,
x
0
∈
R
{\displaystyle a_{n},x,x_{0}\in \mathbb {R} }
، بواسطة العبارة التالية:[ 1]
1
r
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
|
|
a
n
|
{\displaystyle {\frac {1}{r}=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}
إذا كان نصف قطر تقارب متسلسلة دالة هو ما لا نهاية، يمكن أن تمدد الدالة إلى دالة كاملة .
أمثلة
من أبسط الأمثلة هو نصف قطر تقارب متسلسلة القوى للدالة الأسية :
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}{n!}
نحسب نصف قطر التقارب:
1
r
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
|
|
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
1
(
n
+
1
)
!
|
÷
|
1
n
!
|
=
lim
n
→
∞
|
n
!
(
n
+
1
)
!
|
=
lim
n
→
∞
|
n
!
(
n
+
1
)
n
!
|
=
lim
n
→
∞
|
1
n
+
1
|
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{(n+1)!}\right|\div \left|{\frac {1}{n!}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)!}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)n!}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{n+1}\right|\\&=0\end{aligned}
إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو
∞
{\displaystyle \infty }
.
نعتبر متسلسلة ماكلورين للدالة
ln
(
1
+
x
)
{\displaystyle \ln(1+x)}
:
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
,
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}{n}x^{n}=x-{\frac {x^{2}{2}+{\frac {x^{3}{3}-\cdots ,}
نحسب نصف قطر تقاربه:
1
r
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
|
|
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
n
+
1
|
÷
|
(
−
1
)
n
−
1
n
|
=
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
n
+
1
|
×
|
n
(
−
1
)
n
−
1
|
=
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
n
+
1
|
×
|
−
n
(
−
1
)
n
|
=
lim
n
→
∞
|
−
n
n
+
1
|
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}{n+1}\right|\div \left|{\frac {(-1)^{n-1}{n}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}{n+1}\right|\times \left|{\frac {n}{(-1)^{n-1}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}{n+1}\right|\times \left|{\frac {-n}{(-1)^{n}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {-n}{n+1}\right|\\&=1\end{aligned}
إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو
r
=
1
{\displaystyle r=1}
.
مراجع
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd