Operación binaria

Operación binaria
función binaria (es) y partial binary operation (en)
operación unaria (es) Operación binaria operación ternaria (es)

Defínese como operación binaria (o llei de composición)​ aquella operación matemática, que precisa de l'operador y dos operandos (argumentos) por el que calculese un valor.^[1][2]

Formalmente, daos trés conxuntos A, B y C una operación binaria productu, representando la operación pol signu ∘ , ye una aplicación qu'asigna a cada par de valores a de A y b de B un solu valor c de C, que podemos representar:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&A\times B&\longrightarrow &C\\&(a,b)&\longmapsto &c\end{array}$

En particular, A, B y C podríen ser el mesmu conxuntu, que denotamos A. Polo tanto, una operación binaria nel conxuntu A ye una aplicación d'elementos del productu cartesianu A×A na A.

Esisten dos tipos d'operaciones binaries, les operaciones binaries internes y les operaciones binaries esternes.

Notación

Una operación binaria ∘ ente dos elementos, a y b, de dos conxuntos, A y B, puede denotase por:

${\displaystyle a\circ b=c\;,\quad \circ (a,b)=c\;,\quad (a,b)\xrightarrow {\circ } c}$

siendo la primera la más común.

Exemplu d'operación binaria

La suma (+) de númberos naturales ye un exemplu d'operación binaria interna nel conxunto ${\displaystyle N}$.

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&N\times N&\longrightarrow &N\\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}$

y tenemos que:

${\displaystyle 2+3=5\;,\quad +(2,3)=5\;,\quad (2,3)\xrightarrow {+} 5}$

Tipos

Según los conxuntos A, B y C podemos estremar dos tipos d'operaciones, les internes nes qu'A = B = C, y les esternes que son toles demás. Denomínase Llei de Composición a un subtipo d'operación binaria.

Operación binaria interna

Si a cada par de valores (a, b) de ${\displaystyle A}$ la operación correspuéndelu a un valor c de A:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledast :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledast b\end{array}$

dizse qu'esta operación ye interna, tamién se llama llei de composición interna.

Operación binaria esterna

Si la operación nun ye interna entós ye esterna, pudiéndose presentar los siguientes casos:

• Si a cada par de valores a de A y b de B, asígnase-y un valor c de A,

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times B&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}$

a esta operación tamién se denomina llei de composición esterna.

• Si la operación ye de la forma:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times A&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}$

na qu'a cada par de valores a, b de A asígnase-y un c de B, esta operación nun se denomina llei de composición.

• Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conxuntos distintos:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times B&\longrightarrow &C\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}$

ye'l casu más xeneral, y tampoco se denomina llei de composición.

Propiedaes d'una operación binaria

Dáu un conxuntu A non vacíu y definida una aplicación de ${\displaystyle A\times A}$ sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y un valor c de A, que representamos: ${\displaystyle (A,\odot )}$

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}$

Puede tener les siguientes propiedaes:

Conmutatividá

Dizse que ${\displaystyle \odot }$ tien la propiedá conmutativa na A si cumplese:

${\displaystyle \forall a,b\in A\;:\quad a\odot b=b\odot a}$

Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al d'operar b con a.

De la mesma podemos dicir que la llei de composición interna ${\displaystyle \odot }$, nun ye conmutativa na A si:

${\displaystyle \exists a,b\in A\;:\quad a\odot b\neq b\odot a}$

Si esiste dalgún a, b na A, que cumple que la resultancia d'operar a con b ye distintu d'operar b con a.

Anticonmutatividá

La operación ${\displaystyle \odot }$ en A ye anticonmutativa si:

${\displaystyle \forall a,b\in A\;:\quad a\odot b=-(b\odot a)}$

Para tou a, b de A, cúmplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al opuestu d'operar b con a.

Asociatividá

Dizse que ${\displaystyle (A,\odot )}$ ye asociativa si, solu si:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A\;:\quad (a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)}$

Para tou a, b, c de A cumplese qu'operando a con b y la resultancia con c ye igual a operar a cola resultancia d'operar b con c.

Tamién puede dicise que la operación ${\displaystyle \odot }$ nun ye asociativa si cumplese:

${\displaystyle \exists a,b,c\in A\;:\quad (a\odot b)\odot c\neq a\odot (b\odot c)}$

Esisten a, b, c na A que cumplen qu'operando a con b y la resultancia con c ye distintu d'operar a cola resultancia d'operar b con c.

Propiedaes de dos operaciones binaries

Dáu un conxuntu A non vacíu y definíes dos aplicación d'A por A sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y cola operación ${\displaystyle \odot }$ un valor c de A y con la operación ${\displaystyle \circledcirc }$ el valor d de A que representamos: ${\displaystyle (A,\odot ,\circledcirc )}$.

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}\quad \quad {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &d=a\circledcirc b\end{array}$

Pueden tener les siguientes propiedaes:

Distributividá

Dizse qu'una operación binaria ye distributiva si y solu si ye distributiva pela esquierda y pela derecha.

Distributividá pela esquierda

Dizse que la operación ${\displaystyle \odot }$ ye distributiva pela esquierda de ${\displaystyle \circledcirc }$ si cumplese:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A\;:\quad a\odot (b\circledcirc c)=(a\odot b)\circledcirc (a\odot c)}$

Distributividá pela derecha

Dizse que la operación ${\displaystyle \odot }$ ye distributiva pela derecha de ${\displaystyle \circ }$ si cumplse:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A\;:\quad (a\circledcirc b)\odot c=(a\odot c)\circledcirc (b\odot c)}$

Elementos distinguidos

Elementu neutru

Un elemento e ye elementu neutru en ${\displaystyle (A,\odot )}$ si ye elementu neutru pela derecha y pela esquierda.

${\displaystyle \forall a\in A\;,\quad \exists e\in A\;:\quad e\odot a=a\odot e=a}$

Elementu neutru pela derecha

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela derecha si:

${\displaystyle \forall a\in A\;,\quad \exists e\in A\;:\quad e\odot a=a}$

Elementu neutru pela esquierda

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela esquierda si:

${\displaystyle \forall a\in A\;,\quad \exists e\in A\;:\quad a\odot e=a}$

Unicidá del elementu neutru

El elementu neutru ye únicu. Demuestrase por reducción al absurdo. Vamos suponer que esisten dos elementos neutros, e y e'.

• Por ser e l'elementu neutro, pa to tou a cumplese que e${\displaystyle \odot }$a=a.
• Por ser e' l'elemtu neutru, pa tou a cumplese que e'${\displaystyle \odot }$a=a.

Polo tanto, e${\displaystyle \odot }$a=e'${\displaystyle \odot }$a y ye claru que e=e'.

Elementu simétricu

Dizse que ${\displaystyle {\overline {a}$ ye simétricu de ${\displaystyle a}$ si:

${\displaystyle {\overline {a}\odot a=a\odot {\overline {a}=e}$

onde e ye l'elementu neutru.

Elementu involutivu

Dizse que ${\displaystyle d\in A}$ ye elementu involutivu si:

${\displaystyle d\odot d=d}$

Elementu absorbente

Dizse que ${\displaystyle s\in A}$ ye elementu absorbente si:

${\displaystyle \forall a\in A\;:\quad s\odot a=a\odot s=s}$

Operación inversa

Sía A un conxuntu con una operación binaria ${\displaystyle (a,\odot )}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}$

polo que quepe la ecuación:

${\displaystyle \forall a,b\in A\,,\;\exists c\in A\;:\quad a\odot b=c}$

Si:

${\displaystyle a\odot b=c}$

Si A almite elementos simétricos, defínese:

${\displaystyle a\odot b\odot {\overline {b}=c\odot {\overline {b}$

Arrexuntando:

${\displaystyle a\odot (b\odot {\overline {b})=c\odot {\overline {b}$

onde e ye l'elementu neutru:

${\displaystyle a\odot e=c\odot {\overline {b}$

simplificando:

${\displaystyle a=c\odot {\overline {b}$

La operación inversa seria ${\displaystyle {\overline {\odot }$

${\displaystyle a=c\,{\overline {\odot }\,b}$

Otres propiedaes

Simplificación o cancelativa

Sía A cola operación  si ab =ac implica que b=c, dizse que se simplificó a pela esquierda. Y si de ba =ca deduzse b=c y dizse que se simplificó pela derecha. Si puede simplificase per dambos llaos falase de simplificación o cancelación.

Divisores del cero

Sía'l conxuntu A y l'operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 deduzse qu'ab = 0 , dizse qu'a y b son divisores del 0.

Ver tamién

• Otres operaciones:
  • Operación nularia
  • Operación unaria
  • Operación ternaria

Referencies

Enllaces esternos

• Operaciones binarias por Jose Ignacio Farran Martin (Universidá de Valladolid)
• Estructuras Algebraicas por Aldo Jiménez Arteaga (Universidá Veracruzana)