Variedá alxebraica

En xeometría alxebraica, una variedá alxebraica ye esencialmente un conxuntu de puntos (finito o infinitu) nos cualos un polinomiu (d'una o más variables) toma un valor cero, o nel cual un conxuntu de tales polinomios toma un valor cero. Les variedaes alxebraiques son unu de los oxetos centrales d'estudiu de la xeometría alxebraica clásica (y en ciertos aspeutos moderna).

Dende un puntu de vista históricu, el teorema fundamental de la álxebra estableció la rellación ente l'álxebra y la xeometría al indicar qu'un polinomiu d'una variable nos númberos complexos queda determináu pol so conxuntu de raigaños, que ye un oxetu xeométricu inherente. Construyendo sobre esta resultancia, el Nullstellensatz de Hilbert establez una correspondencia fundamental ente los ideal d'un aniellu ideales de los aniellos de polinomios y los subconxuntos del espaciu allegáu. Utilizando'l Nullstellensatz y les sos resultancies asociaes, ye posible prindar la noción xeométrica d'una variedá en términos alxebraicos como tamién faer que la xeometría entienda sobre temes de la teoría d'aniellos.

Definición

Sía ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} }$ un cuerpu. Sía ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} [x_{1},...,x_{n}]}$ el aniellu de polinomios nes variables ${\displaystyle \scriptstyle x_{1},...,x_{n}$ y coeficientes nel cuerpu ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} }$. Sía ${\displaystyle \scriptstyle S\subset \mathbb {K} [x_{1},...,x_{n}]}$. Defínese la variedá allegada determinada por ${\displaystyle \scriptstyle S}$ (denotada por ${\displaystyle \scriptstyle V(S)}$) al conxuntu:

${\displaystyle V(S):=\{a\in \mathbb {K} ^{n}:f(a)=0,f\in S\}$.

Esto ye, V(S) representa'l conxuntu de puntos del espaciu allegáu ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} ^{n}$ nos que s'anulen tolos polinomios de ${\displaystyle \scriptstyle S}$.

Ver tamién

• Campu de función
• Dimensión d'una variedá alxebraica
• Puntu singular d'una variedá alxebraica
• Xeometría biracional
• Variedá abeliana

Referencies

• Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
• David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
• David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.
• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W.. «Affine variety». Consultáu'l 30 de xunu de 2008.