Даўжыня крывой
Даўжынёй крывой у метрычнай прасторы
называецца варыяцыя адлюстравання, якім задаецца крывая,
г.з. даўжыня крывой
ёсць велічыня, роўная:
,
дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разбіццях
адрэзка
.
Звязаныя азначэнні
Калі даўжыня канечная, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку невыпрастальная.
Формулы
Калі крывая належыць класу
у
, то яе даўжыня роўная:
- У трохмернай еўклідавай прасторы
:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79648a4488bec395768e0f490a9129e5946023e7)
- У агульным выпадку n-мернай еўклідавай прасторы
:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}\left(f'_{k}(t)\right)^{2}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ee4484b5c0696383681c7e8badc4ea9be39f90)
- Калі крывая зададзена на плоскасці
як графік функцыі y = f(x), то яе даўжыня роўная
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4105afca8a9db2fea9379eb1d8eab15138bb0da)