Найбольшая агульная падпаслядоўнасць

Задача знаходжання найбольшай агульнай падпаслядоўнасці (англ.: longest common subsequence, LCS) — задача пошуку паслядоўнасці, якая з'яўляецца падпаслядоўнасцю некалькіх паслядоўнасцей (звычайна дзвюх). Часта задача вызначаецца як пошук усіх найбольшых падпаслядоўнасцей. Гэта класічная задача інфарматыкі, якая мае ўжыванне, у прыватнасці, у задачы параўнання тэкставых файлаў (утыліта diff), а таксама ў біяінфарматыцы.

Падпаслядоўнасць можна атрымаць з некаторай канечнай паслядоўнасці, калі выдаліць з апошняй некаторае мноства яе элементаў (магчыма пустое). Напрыклад, BCDB з'яўляецца падпаслядоўнасцю з ABCDBAB. Будзем лічыць, што паслядоўнасць Z з'яўляецца агульнай падпаслядоўнасцю паслядоўнасцей X і Y, калі Z з'яўляецца падпаслядоўнасцю як X, так і Y. Патрабуецца для дзвюх паслядоўнасцей X і Y знайсці агульную падпаслядоўнасць найбольшай даўжыні. Заўважым, што НАП можа быць некалькі.

Параўнаем два метады рашэння: поўны перабор і дынамічнае праграмаванне.

Існуюць розныя падыходы рашэння дадзенай задачы пры поўным пераборы — можна перабіраць варыянты падпаслядоўнасці, варыянты выкрэслівання з дадзеных паслядоўнасцей і г. д. Аднак у любым выпадку, час працы праграмы будзе экспанентай ад даўжыні радка.

Спачатку знойдзем даўжыню найбольшай падпаслядоўнасці. Дапусцім, мы шукаем рашэнне для выпадку (n₁, n₂), дзе n₁, n₂ — даўжыні першага і другога радка. Хай ужо існуюць рашэнні для усіх падзадач (m₁, m₂), меншых зададзенай. Тады задача (n₁, n₂) зводзіцца да меншых падзадач наступным чынам:

${\displaystyle f(n_{1},n_{2})=\left\{\begin{array}{ll}0,&n_{1}=0\lor n_{2}=0\\f(n_{1}-1,n_{2}-1)+1,&s[n_{1}]=s[n_{2}]\\max(f(n_{1}-1,n_{2}),f(n_{1},n_{2}-1)),&s[n_{1}]\neq s[n_{2}]\end{array}\right.}$

Зараз вернемся да задачы будавання падпаслядоўнасці. Для гэтага ў існуючы алгарытм дададзім запамінанне для кожнай задачы той падзадачы, праз якую яна вырашаецца. Наступным дзеяннем, пачынаючы з апошняга элемента, падымаемся да пачатку па напрамках, зададзеных першым алгарытмам, і запісваем сімвалы ў кожнай пазіцыі. Гэта і будзе адказам у дадзенай задачы.

Час працы алгарытму будзе ${\displaystyle \mathrm {O} \,(n_{1}\cdot n_{2})}$.