Найме́ншае агу́льнае кра́тнае (найменшы агульны кратны лік, НАК) двух цэлых лікаў m і n — найменшы натуральны лік, які дзеліцца на m і n без астачы. Абазначаецца адным з наступных спосабаў:
- НАК(m, n);
- [m, n];
- lcm(m, n) (ад англ.: Least Common Multiple).
Прыклад: НАК(16, 20) = 80.
Найменшае агульнае кратнае некалькіх лікаў — гэта найменшы натуральны лік, які дзеліцца на кожны з гэтых лікаў.
Адно з найбольш частых прымяненняў НАК — прывядзенне дробаў да агульнага назоўніка.
Уласцівасці
- Перастаўляльнасць (камутатыўнасць):
- Спалучальнасць (асацыятыўнасць):
- Сувязь з найбольшым агульным дзельнікам gcd(a, b):
- У прыватнасці, калі a і b — узаемна простыя лікі (руск.) (бел., то:
- пры
- Найменшае агульнае кратнае двух цэлых лікаў m і n з'яўляецца дзельнікам усіх іншых агульных кратных m і n. Больш таго, мноства агульных кратных m і n супадае з мноствам кратных для НАК(m, n).
- Асімптотыкі для можна выразіць праз некаторыя тэарэтыка-лікавыя функцыі.
- Функцыя Чабышова (англ.) (бел.
- . Гэта вынікае з азначэння і ўласцівасцей функцыі Ландау (руск.) (бел. g(n).
- , што вынікае з закона размеркавання простых лікаў (руск.) (бел..
Вылічэнне НАК
НАК(a, b) можна вылічыць некалькімі спосабамі.
1. Калі вядомы найбольшы агульны дзельнік, можна выкарыстаць яго сувязь з НАК:
2. Няхай вядома кананічнае раскладанне абодвух лікаў на простыя множнікі:
дзе — розныя простыя лікі, а і — неадмоўныя цэлыя лікі (яны могуць быць нулямі, калі адпаведнага простага няма ў раскладанні). Тады НАК(a, b) вылічаецца па формуле:
Іншымі словамі, раскладанне НАК утрымлівае ўсе простыя множнікі, якія ўваходзяць хоць у адно з раскладанняў лікаў a і b, прычым з двух паказчыкаў ступені гэтага множніка бярэцца найбольшы. Прыклад:
Вылічэнне найменшага агульнага кратнага некалькіх лікаў можна звесці да некалькіх паслядоўных вылічэнняў НАК ад двух лікаў:
Гл. таксама
Літаратура
- Виноградов И. М. Основы теории чисел.. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
Спасылкі