Алгебра (теория на пръстените)

В теорията на пръстените, алгебра над комутативен пръстен или R-алгебра е обобщение на понятието алгебра над поле.

Нека R и A са комутативни пръстени с единица. A се нарича R-алгебра ако за ${\displaystyle a,b\in R}$ и ${\displaystyle x,y\in A}$ e дефинирано A-произведение ${\displaystyle ax\in A}$ и са налице следните аксиоми:

1. ${\displaystyle a(x+y)=ax+ay}$
2. ${\displaystyle (a+b)x=ax+by}$
3. ${\displaystyle (ab)x=a(bx)}$
4. ${\displaystyle 1.x=x}$
5. a(xy) = (ax)y = x(ay).

Първите четири аксиоми показват, че A представлява R-модул, а петата се грижи за съгласуваност с умножението в A.

A се нарича крайнопородена R-алгебра, ако съществуват краен брой ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in A}$, такива че всеки елемент на A е полином с коефициенти от R на ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}$.

• Всеки пръстен може да се разглежда като ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-алгебра.
• Пръстенът на полиномите на n променливи ${\displaystyle k[x_{1},...,x_{n}]}$ е k-алгебра.
• Ако R е подпръстен на A, пръстенът A по естествен начин е R-алгебра.

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.