Константата се появява за пръв път през 1734 г. в труд на швейцарския математик Леонард Ойлер, озаглавен De Progressionibus harmonicis observationes. Ойлер използва означенията C и O за константата. През 1790 г. италианският математик Лоренцо Маскерони използва нотациите A и a за константата. Обозначението γ не присъства никъде в писанията на Ойлер или Маскерони и е избрано по-късно, вероятно заради връзката на константата с гама-функцията.[1] Например, немският математик Карл Антон Бретшнайдер използва означението γ през 1835 г.,[2] а Огъстъс Де Морган го използва в учебник, публикуван на части от 1836 до 1842 г.[3]
Проявления
Константата на Ойлер – Маскерони се проявява в следните места ('*' означава, че този запис съдържа подробно уравнение):
В регулацията на хармоничните редове като крайна стойност
Осредняването на разпределението на Гумбел
В ентропията на Шанън при разпределенията на Уейбъл и Леви и, имплицитно, на разпределението хи-квадрат за една или две степени на свобода
В някои формулировки на закона на Ципф
В определението на косинусовия интеграл*
В долните граници на интервалите между простите числа
Свойства
Числото γ все още не е доказано, че е алгебрично или трансцендентно. Всъщност, не се знае дали γ е ирационално. Анализ на верижната дроб показва, че ако γ е рационално, то знаменателят му трябва да е по-голям от 10242080. Вездесъщността на γ, доказана от големия брой уравнения по-долу, прави ирационалността на γ голям отворен въпрос в математиката.
Връзка с гама-функцията
γ е свързана с дигама-функцията Ψ и следователно производната на гама функцията Γ, когато и двете функции се изчисляват с 1. Оттук:
Това е равно на границите:
По-нататъшните резултати за границите са:
Граница, свързана с бета-функцията (изразена спрямо гама-функции) е
Други редове, свързани с дзета-функцията включват:
Условието на грешката в последното уравнение е бързо намаляваща функция на n. В резултат на това, формулата е подходяща за ефективно изчисление на константата с висока точност.
Други интересни граници, равняващи се на константата на Ойлер – Маскерони са асиметричната граница:
Тясно свързано с това е изразът на рационалните дзета редове. Взимайки отделно първите няколко условия на горните редове, може да се направи оценка за границата на класическия ред:
къдетоζ(s,k) е дзета-функцията на Хурвиц. Сборът в това уравнение включва хармонични числа, Hn. Разширявайки условията в дзета-функцията на Хурвиц, се получава:
където 0 < ε < 1252n6.
Интеграли
γ е равна на стойността на число от определени интеграли:
където Hx е дробното хармонично число.
Определени интеграли, в които се появява γ, са:
γ може да се изрази и така:
Интересно сравнение с двойния интеграл и променливият ред е:
То показва, че ln 4π може да бъде считано като „променлива Ойлерова константа“.
Двете константи също често се свързва от чифта редове
където N1(n) и N0(n) са броя единици и нули, съответно, в двоично разширение на n.
Разширение на редове
Ойлер показва, че следният безкраен ред приближава γ:
Редът за γ е еквивалентен на реда на Нилсен, открит през 1897 г.:
През 1910 г. Джовани Вака открива тясно свързаните редове:
γ се равнява на следните асимптотични формули (kydeto Hn е n-тото хармонично число):
Третата формула се нарича също разширение на Рамануджан.
Експонента
Константата eγ е важна в теорията на числата. Някои автори обозначават тази величина просто като γ′. eγ е равно на следната граница, където pn е n-тото просто число:
Това потвърждава третата от теоремите на Мартенс.[5] Числената стойност на eγ е:
↑Carl Anton Bretschneider: Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 октомври 1835), Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, с. 257 – 285 (in Latin; „γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3..)“
↑Augustus De Morgan: The differential and integral calculus, Baldwin and Craddock, London 1836 – 1842 („γ“)