Неравенство на Карамата

Неравенството на Карамата, наречено на сръбския математик Йован Карамата, още известно като мажорационно неравенство, е теорема от елементарната алгебра.

Ако е дадена функция ${\displaystyle f:{\mathcal {I}\rightarrow \mathbb {R} }$, изпъкнала в интервала ${\displaystyle {\mathcal {I}$, тогава за всеки две мажориращи се редици ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\succ \{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\}$ е изпълнено:

$${\displaystyle f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\geq f(y_{1})+\cdots +f(y_{n}).}$$ Доказателство:

Първо нека положим ${\displaystyle c_{i}={\frac {f(y_{i})-f(x_{i})}{y_{i}-x_{i}$, което поради изпъкналостта на функцищта ${\displaystyle f(x)}$ и мажорирането на редиците ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$, образува ненамаляваща редица. Тоест $${\displaystyle c_{i}\geq c_{i+1}\Leftrightarrow {\frac {f(y_{i})-f(x_{i})}{y_{i}-x_{i}\geq {\frac {f(y_{i+1})-f(x_{i+1})}{y_{i+1}-x_{i+1}.}$$

Това следва последователно от ${\displaystyle {\frac {b-c}{a-c}f(a)+{\frac {a-b}{a-c}f(c)\geq f(b)=f({\frac {b-c}{a-c}a+{\frac {a-b}{a-c}c)\Leftrightarrow {\frac {f(a)-f(c)}{a-c}\geq {\frac {f(b)-f(c)}{b-c}$ за ${\displaystyle a\geq b}$, което е дефиницията за изпъкналост. Тогава от факта, че ${\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq \ldots \geq x_{n}$ и ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}\geq \ldots \geq y_{n}$, се получава

$${\displaystyle {\frac {f(y_{i})-f(x_{i})}{y_{i}-x_{i}\geq {\frac {f(y_{i})-f(x_{i+1})}{y_{i}-x_{i+1}\geq {\frac {f(y_{i+1})-f(x_{i+1})}{y_{i+1}-x_{i+1}.}$$

Полагаме ${\displaystyle A_{k}=x_{1}+\ldots +x_{k}$ и ${\displaystyle B_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k}$ за ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$ и заради мажорирането ${\displaystyle A_{k}\geq B_{k}$ за ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n-1}$ и ${\displaystyle A_{n}=B_{n}$.

В такъв случай ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(f(x_{i})-f(y_{i}))=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x_{i}-y_{i})=}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(c_{i}-c_{i+1})(x_{1}+x_{2}+...+x_{i})-\sum _{i=1}^{n}(c_{i}-c_{i+1})(y_{1}+y_{2}+...+y_{i})=}$ ${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n-1}(c_{i}-c_{i+1})(A_{i}-B_{i})+c_{n}(A_{n}-B_{n})}$, което очевидно е по-голямо от 0.

Ако вместо ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ използваме редицата ${\displaystyle \left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}{n},\cdots ,{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}{n}\right)}$, ще получим неравенството на Йенсен.

• Мажоризация