Обикновено диференциално уравнение

Обикновено диференциално уравнение (ОДУ) е диференциално уравнение, съдържащо една или повече функции на независима променлива и производните на тези функции.^[1]Уравнение от вида ${\displaystyle F(x,y,y^{'},...,y^{(n)})=0}$, където ${\displaystyle x}$ е независима променлива, ${\displaystyle y}$ е неизвестна функция, а ${\displaystyle y^{'},...,y^{(n)}$ са нейните производни до ред ${\displaystyle n}$, се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ) от ${\displaystyle n}$-ти ред.^[2] Определението „обикновено“ се използва в контраст с термина частно диференциално уравнение, което може да се решава спрямо повече от една независима променлива.^[3]

Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:

${\displaystyle {a_{0}{d^{n}y} \over {dx^{n}+a_{1}{d^{n-1}y} \over {dx^{n-1}+...+a_{n-1}{dy} \over dx}+a_{n}.y=b}$,

където ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ могат да са функции на ${\displaystyle x}$ или константи.

За удобство при решаването на това интегрално уравнение ${\displaystyle n}$-тата производна спрямо ${\displaystyle x}$ се обозначава с ${\displaystyle D^{n}$.

Ползвайки този оператор ${\displaystyle D}$ горното диференциално уравнение може да се запише като:

${\displaystyle {a_{0}D^{n}y+a_{1}D^{n-1}y+...+a_{n-1}Dy+a_{n}y=b}.}$

Ако ${\displaystyle b=0}$, горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако ${\displaystyle b\neq 0}$, уравнението се нарича нехомогенно.

${\displaystyle a{d^{2}y} \over {dx^{2}+b{dy} \over {dx}+cy=0}$

При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D – имащ значение на диференциране спрямо х.

Да поясним какво е значението на този оператор:

${\displaystyle Dy=dy/dx}$

${\displaystyle (D+1)y=dy/dx+y}$

${\displaystyle (D-2)(D+1)y=(D-2)(dy/dx+y)=d^{2}y/dx^{2}+dy/dx-2dy/dx-2y=D^{2}y-Dy-2y}$

${\displaystyle (D-2)(D+1)y=(D^{2}-D-2)y}$

Забележете че ${\displaystyle D}$ има смисъл на математическа операция, а не на променлива, и че с ${\displaystyle D}$ можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.

Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид: ${\displaystyle aD^{2}y+bDy+cy=0}$ =>${\displaystyle (aD^{2}+bD+c)y=0.}$

Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме: ${\displaystyle \mathbf {a(D-y_{1})(D-y_{2})y=0} .}$

Полагаме

${\displaystyle z=(D-y_{2})y}$, където ${\displaystyle (D-y_{2})y}$ е функция на х.

Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:

${\displaystyle (D-y_{1})z=0}$

${\displaystyle {dz \over dx}-y_{1}.z=0}$

Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:

${\displaystyle {dz \over dx}=y_{1}.z}$

${\displaystyle {dz \over z}-y_{1}.dx=0}$

${\displaystyle ln{z \over C_{1}=y_{1}.x}$

${\displaystyle z=C_{1}.e^{y_{1}.x}$

Заместваме полученият резултат за z в

${\displaystyle (D-y_{2})y=C_{1}.e^{y_{1}.x}$

Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.

${\displaystyle dy-y_{2}.y.dx=C_{1}.e^{y_{1}.x}.dx}$

${\displaystyle y'-y_{2}.y=C_{1}.e^{y_{1}.x}$

${\displaystyle (y.e^{-y_{2}.x})'=y'e^{-y_{2}.x}-y.e^{-y_{2}.x}.y_{2}=e^{-y_{2}.x}.(y'-y_{2}.y)}$

${\displaystyle y'-y_{2}.y=(y.e^{-y_{2}.x})'.e^{y_{2}.x}=C_{1}.e^{y_{1}.x}$

${\displaystyle (y.e^{-y_{2}.x})'=C_{1}.e^{y_{1}.x}.e^{-y_{2}.x}=C_{1}.e^{(y_{1}-y_{2}).x}$

интегрираме и получаваме следното решение:

${\displaystyle y.e^{-y_{2}.x}=\int C_{1}.e^{(y_{1}-y_{2}).x}dx+C_{2}$

Преобразуваме:

${\displaystyle y=e^{y_{2}.x}.\int C_{1}.e^{(y_{1}-y_{2}).x}dx+C_{2}.e^{y_{2}.x}{}$

Когато ${\displaystyle y_{1}$ и ${\displaystyle y_{2}$ са реални числа, решението за функцията ${\displaystyle y}$ е:

${\displaystyle y=c_{1}e^{y_{1}.x}+c_{2}.e^{y_{2}.x}$

• Методи на Рунге-Кута