গ্যালোয়ার তত্ত্ব

বিমূর্ত বীজগণিতে গ্যালোয়া তত্ত্ব হচ্ছে এভারিস্তে গ্যালোয়ার নামে নামাঙ্কিত একটি তত্ত্ব যা ফিল্ড তত্ত্ব ও গ্রুপ তত্ত্বর মাঝে সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করেছে। এই তত্ত্ব ব্যবহার করে ফিল্ড তত্ত্বের অনেক সমস্যাকে গ্রুপ তত্ত্বের সমস্যায় রূপান্তর করা যায়, যেগুলো খানিকটা সরল এবং অধিকতর বোধগম্য।

গ্যালোয়া বিন্যাস গ্রুপ ব্যবহার করে বহুপদীর বীজগুলো কীভাবে একে অন্যের সাথে সম্পর্কযুক্ত তা দেখাতে গিয়ে এই তত্ত্বের অবতারণা করেন। তবে গ্যালোয়া তত্ত্বের আধুনিক প্রকাশভঙ্গি তৈরি করেছেন রিচার্ড ডেডেকিন্ড, ক্রোনেচকার, এমিল আর্টিন প্রমুখ ব্যক্তিগণ।

গ্যালোয়া তত্ত্বের জন্ম হয়েছিল নিচের একটি প্রশ্নের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে: (যার উত্তরকে আমরা জানি আবেল-রুফিনি উপপাদ্য বলে)

কেন পঞ্চঘাতী বা উচ্চতর বহুপদীর বীজ বের করার কোন সূত্র নেই যেটাতে শুধু বহুপদীর সহগগুলোর মান জানা থাকলেই বীজগাণিতিক প্রক্রিয়ার সাহায্যে বীজ বের হয়ে আসবে? কেন শুধু পাঁচের কম ঘাত হলেই এমন সূত্র বানানো সম্ভব?

গ্যালোয়া তত্ত্ব শুধু এই প্রশ্নের চমৎকার উত্তরই দেয় না, বরঞ্চ এটি এও ব্যাখ্যা করে কেন পাঁচের কম ঘাতের জন্য এমন সূত্র থাকে আর কেনই বা সূত্রগুলো এমন রূপ নেয়। গ্যালয়া তত্ত্ব এমনকি এটাও বলে কখন একটি উচ্চ ঘাতের সমীকরণের সমাধান বের করা সম্ভব।

• Reed–Solomon error correction
• Differential Galois theory
• Grothendieck's Galois theory

• Emil Artin (১৯৯৮)। Galois Theory। Dover Publications। আইএসবিএন 0-486-62342-4।  (Reprinting of second revised edition of 1944, The University of Notre Dame Press).
• Jörg Bewersdorff (২০০৬)। Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective। American Mathematical Society। আইএসবিএন 0-8218-3817-2।  .
• Harold M. Edwards (১৯৮৪)। Galois Theory। Springer-Verlag। আইএসবিএন 0-387-90980-X।  (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
• Funkhouser, H. Gray (১৯৩০)। "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations"। American Mathematical Monthly। The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 7। 37 (7): 357–365। জেস্টোর 2299273। ডিওআই:10.2307/2299273। 
• Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Galois theory", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Nathan Jacobson (১৯৮৫)। Basic Algebra I (2nd ed)। W.H. Freeman and Company। আইএসবিএন 0-7167-1480-9।  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
• Janelidze, G.; Borceux, Francis (২০০১)। Galois theories। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-80309-0।  (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Lang, Serge (১৯৯৪)। Algebraic Number Theory। Berlin, New York: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-94225-4। 
• M. M. Postnikov (২০০৪)। Foundations of Galois Theory। Dover Publications। আইএসবিএন 0-486-43518-0। 
• Joseph Rotman (১৯৯৮)। Galois Theory (2nd edition)। Springer। আইএসবিএন 0-387-98541-7। 
• Völklein, Helmut (১৯৯৬)। Groups as Galois groups: an introduction। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-56280-5। 
• van der Waerden, Bartel Leendert (১৯৩১)। Moderne Algebra (German ভাষায়)। Berlin: Springer। উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: অচেনা ভাষা (link) . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra। New York: Frederick Ungar। ১৯৪৯।  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (২০০১)। "(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic" (পিডিএফ)। 

কিছু টিউটোরিয়াল:

• http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১১ জুলাই ২০০৭ তারিখে
• http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422
• http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

অনলাইনে বই পাওয়া যাবে এখানে:

• http://www.galois-group.net/