বার্ট্রান্ডের স্বতঃসিদ্ধ

সংখ্যা তত্ত্বে, বার্ট্রান্ডের স্বতঃসিদ্ধ হলো একটি উপপাদ্য যা বিবৃত করে যে,যেকোনো পূর্ণসংখ্যা ${\displaystyle n>3}$ এর জন্য, অন্তত একটি মৌলিক সংখ্যা ${\displaystyle p}$ বিদ্যমান যাতে

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

একটি কম সীমাবদ্ধ প্রণয়ন হল: প্রত্যেক ${\displaystyle n>1}$ এর জন্য, সর্বদা কমপক্ষে একটি মৌলিক সংখ্যা ${\displaystyle p}$ থাকে যাতে

${\displaystyle n<p<2n.}$

আরেকটি সূত্র, যেখানে ${\displaystyle p_{n}$হলো ${\displaystyle n}$ - তম প্রাইম, : সেখানে

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$^[১]

এই বিবৃতিটি প্রথম অনুমান করেছিলেন ১৮৪৫ সালে জোসেফ বার্ট্রান্ড ^[২]। বার্ট্রান্ড নিজেই সমস্ত ( ${\displaystyle 2\leq n\leq 3\,000\,000}$ ) পূর্ণসংখ্যার জন্য তার বক্তব্য যাচাই করেছিলেন।

তাঁর অনুমান পাফনুতি লভোভিচ চেবিশেভ ১৮৫২ সালে সম্পূর্ণরূপে প্রমাণ করেন ^[৩] এবং তাই অনুমানটিকে বার্ট্রান্ড-চেবিশেভ উপপাদ্য বা চেবিশেভের উপপাদ্যও বলা হয়। চেবিশেভের তত্ত্বের সাথে সম্পর্ক হিসাবেও বলা যেতে পারে ${\displaystyle \pi (x)}$, প্রাইম-কাউন্টিং ফাংশন (এর থেকে কম বা সমান প্রাইমের সংখ্যা ${\displaystyle x}$ ):

${\displaystyle \pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}{\bigr )}\geq 1,{\text{ for all }x\geq 2.}$

মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য (PNT) নির্দেশ করে যে x পর্যন্ত প্রাইম সংখ্যার সংখ্যা, π(x), প্রায় x/log(x)-এর সমান। সুতরাং, যদি আমরা x-এর স্থলে 2x ব্যবহার করি, তবে দেখতে পাই যে 2x পর্যন্ত প্রাইম সংখ্যার সংখ্যা x পর্যন্ত প্রাইম সংখ্যার সংখ্যার তুলনায় আনুপাতিকভাবে দ্বিগুণ (কারণ log(2x) এবং log(x) প্রায় সমান)। সুতরাং, n এবং 2n এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা প্রায় n/log(n)-এর সমান, যখন n বড়।

ফলে, এই ব্যবধানের মধ্যে অনেক বেশি সংখ্যা থাকে যা বার্ট্রান্ডের উপপাদ্যের দ্বারা নিশ্চিত করা সম্ভব নয়। সুতরাং বার্ট্রান্ডের উপপাদ্য তুলনামূলকভাবে PNT-এর চেয়ে দুর্বল। তবে, PNT একটি গভীর থিয়োরেম, যেখানে বার্ট্রান্ডের উপপাদ্য তুলনামূলকভাবে সহজে প্রমাণিত হতে পারে এবং এটি ছোট n-এর জন্য সুনির্দিষ্ট দাবি করে। (এছাড়াও, চেবিশেভের উপপাদ্য PNT-এর আগে প্রমাণিত হয়েছিল এবং তাই এর ঐতিহাসিক গুরুত্ব রয়েছে।)

লেজঁন্দ্রের অনুমান প্রশ্ন করে যে প্রতিটি n ≥ 1-এর জন্য এমন একটি প্রাইম সংখ্যা p আছে কিনা, যাতে n² < p < (n + 1)² হয়। এখানে আবার প্রত্যাশা করা হয় যে n² এবং (n + 1)² এর মধ্যে কেবল একটি নয়, বরং অনেক মৌলিক সংখ্যা থাকবে। তবে এই ক্ষেত্রে PNT কোনো সহায়তা করে না: x² পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা x²/log(x²)-এর সমানুপাতিক, এবং (x + 1)² পর্যন্ত প্রাইম সংখ্যার সংখ্যা (x + 1)²/log((x + 1)²)-এর সমানুপাতিক। এটি x² পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার সংখ্যার সমানুপাতিক।

তাই, x এবং 2x-এর আগের ক্ষেত্রে যা ঘটেছিল, তার বিপরীতে, বড় n-এর জন্য লেজঁদ্রের অনুমানের প্রমাণ এখানে পাওয়া যায় না। PNT-এর ত্রুটি অনুমান এই ব্যবধানে এমনকি একটি প্রাইম সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট নয় এবং হতে পারেও না। আরও বিশদভাবে, PNT-এর মাধ্যমে বাউন্ডারি অনুমান করা সম্ভব হয়, যেখানে প্রতিটি ε > 0-এর জন্য, এমন একটি S থাকে যাতে x > S হলে:

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x^{2}{2\log x}\;<\;\pi (x^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x^{2}{2\log x}\;,}$

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}{2\log(x+1)}\;<\;\pi ((x+1)^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}{2\log(x+1)}\;.}$

নিম্নসীমা π((x+1)²) এবং ঊর্ধ্বসীমা π(x²)-এর অনুপাত হল:

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}{x^{2}\cdot {\frac {\log x}{\log(x+1)}\cdot {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }\;.}$

যেহেতু ${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}{x^{2}\rightarrow 1}$ যখন ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$, ${\displaystyle {\frac {\log x}{\log(x+1)}<1}$ প্রতিটি x > 0-এর জন্য, এবং ${\displaystyle {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }<1}$ একটি নির্দিষ্ট ε-এর জন্য, এমন একটি R বিদ্যমান যা উপরের অনুপাতটি প্রতিটি x > R-এর জন্য 1-এর চেয়ে ছোট। সুতরাং, এটি নিশ্চিত করে না যে π(x²) এবং π((x+1)²)-এর মধ্যে কোনো মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান। আরো সাধারণভাবে বলতে গেলে, এই সাধারণ সীমাগুলি যথেষ্ট নয় এটি প্রমাণ করার জন্য যে π(xⁿ) এবং π((x+1)ⁿ)-এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান, যেখানে n > 1 একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

১৯১৯ সালে, শ্রীনিবাস রামানুজন চেবিশেভের চেয়ে সহজ প্রমাণ দেওয়ার জন্য গামা ফাংশনের ব্যবহার করেছিলেন। ^[৪] তাঁর সংক্ষিপ্ত গবেষণাপত্রে এই পোস্টুলেটের একটি সাধারণীকরণ অন্তর্ভুক্ত ছিল, যেখান থেকে পরবর্তীতে রামানুজন মৌলিক ধারণার উদ্ভব হবে। রামানুজন প্রাইমগুলির আরও সাধারণীকরণও আবিষ্কৃত হয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রমাণ আছে যে

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }i>k{\text{ where }k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

যেক্ষেত্রে p _k হলো k তম মৌলিক সংখ্যা এবং R _n হলো n তম রামানুজন মৌলিক।

বার্ট্রান্ডের পোস্টুলেটের অন্যান্য সাধারণীকরণ প্রাথমিক পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়। ১৯৭৩ সালে, ডেনিস হ্যানসন প্রমাণ করেছিলেন যে 3 n এবং 4 n এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। ^[৫] ২০০৬ সালে এল বাচরাউই একটি প্রমাণ প্রস্তাব করেছিলেন যে 2 n এবং 3 n এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। ^[৬] এল বাচরাউই-এর প্রমাণ হলো n এবং 2n-এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যার জন্য Erdős-এর যুক্তির সম্প্রসারণ। শেভেলেভ, গ্রিটহাউস, এবং মোসেস অনুরূপ ব্যবধানের জন্য সম্পর্কিত ফলাফল নিয়ে আলোচনা করেছিলেন। ^[৭]

গাউসিয়ান পূর্ণসংখ্যার উপর বার্ট্রান্ডের অনুমান হল মৌলিক সংখ্যার বন্টনের ধারণার একটি সম্প্রসারণ, তবে এই ক্ষেত্রে জটিল সমতলে। এইভাবে, যেহেতু গাউসিয়ান মৌলিকগুলি সমতলের উপর প্রসারিত হয় এবং কেবল একটি রেখা বরাবর নয়, এবং একটি জটিল সংখ্যাকে দ্বিগুণ করা কেবল 2 দ্বারা গুণ করা নয় বরং এর আদর্শকে দ্বিগুণ করে (1+i দ্বারা গুণ করা)। বিভিন্ন সংজ্ঞা ভিন্ন ভিন্ন ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে, এর মধ্যে কিছু এখনও অনুমান, কিছু প্রমাণিত। ^[৮]

বার্ট্রান্ডের উপপাদ্য পারমুটেশন গ্রুপ-এর প্রয়োগের জন্য প্রস্তাবিত হয়েছিল। সিলভেস্টার (১৮১৪–১৮৯৭) এই দুর্বল বক্তব্যটি সাধারণীকরণ করে বলেছিলেন: k-এর চেয়ে বড় k ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল বিভাজ্য একটি মৌলিক সংখ্যা দ্বারা, যা k-এর চেয়ে বড়।

বার্ট্রান্ডের (দুর্বল) উপপাদ্যটি এখান থেকে প্রমাণিত হয়, যখন k = n নেওয়া হয় এবং n + 1, n + 2 থেকে শুরু করে n + k = 2n পর্যন্ত k সংখ্যাগুলিকে বিবেচনা করা হয়, যেখানে n > 1। সিলভেস্টারের সাধারণীকরণের মতে, এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটির একটি মৌলিক উৎপাদক থাকে যা k-এর চেয়ে বড়। যেহেতু এই সব সংখ্যা 2(k + 1)-এর চেয়ে ছোট, তাই k-এর চেয়ে বড় মৌলিক উৎপাদক সহ সংখ্যা কেবল একটি মৌলিক সংখ্যা।

উল্লেখ্য, 2n মৌলিক নয়, এবং সুতরাং আমরা জানি যে এমন একটি মৌলিক সংখ্যা p বিদ্যমান, যেখানে n < p < 2n।

১৯৩২ সালে, পল এর্ডশ (১৯১৩–১৯৯৬) দ্বিপদী সহগ এবং চেবিশেভ অপেক্ষক ${\displaystyle \vartheta }$ ব্যবহার করে একটি সহজতর প্রমাণ প্রকাশ করেন, যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত:

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\log(p)}$

যেখানে p ≤ x-এর জন্য p শুধু মৌলিক সংখ্যাগুলির উপর প্রযোজ্য।^[৯]

১৯৩৪ সালে এর্ডশ প্রমাণ করেন যে, যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা k-এর জন্য একটি স্বাভাবিক সংখ্যা N বিদ্যমান, যাতে সমস্ত n > N-এর ক্ষেত্রে n এবং 2n-এর মধ্যে অন্তত k সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা থাকে।

এটি মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে যে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ${\displaystyle \varepsilon >0}$ এর জন্য একটি ${\displaystyle n_{0}>0}$ আছে যাতে সকল ${\displaystyle n>n_{0}$ এর জন্য একটি মৌলিক সংখ্যা ${\displaystyle p}$ আছে যাতে ${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$ । এটা দেখানো যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যে

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}=\varepsilon ,}$

যা বোঝায় যে ${\displaystyle \pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}$ অসীম হতে পারে।

অ-অসিম্পোটিক সীমানাও প্রমাণিত হয়েছে। ১৯৫২ সালে, জিৎসুরো নাগুরা প্রমাণ করেছিলেন যে সকল ${\displaystyle n\geq 25}$ এর জন্য ${\displaystyle n}$ এবং ${\displaystyle {\bigl (}1+{\tfrac {1}{5}{\bigr )}n}$ এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা থাকে।^[১০]

১৯৭৬ সালে, Lowell Schoenfeld দেখান যে সকল${\displaystyle n\geq 2\,010\,760}$ এর জন্য খোলা ব্যবধানে ${\displaystyle n<p<{\bigl (}1+{\tfrac {1}{16\,597}{\bigr )}n}$ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা p থাকে। ^[১১]

তার ১৯৯৮ সালের ডক্টরাল থিসিসে, পিয়েরে দুসার্ত উপরোক্ত ফলাফলের উন্নতি করেন, যা দেখায় ${\displaystyle k\geq 463}$, ${\displaystyle p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{p_{k}\right)p_{k}$, এবং বিশেষত ${\displaystyle x\geq 3\,275}$ এর জন্য একটি মৌলিক সংখ্যা ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{x}\right)x}$ ব্যবধানে বিদ্যমান আছে। ^[১২]

• P. Erdős (১৯৩৪), "A Theorem of Sylvester and Schur", Journal of the London Mathematical Society, 9 (4): 282–288, ডিওআই:10.1112/jlms/s1-9.4.282 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Jitsuro Nagura (১৯৫২), "On the interval containing at least one prime number", Proc. Japan Acad., 28 (4): 177–181, ডিওআই:10.3792/pja/1195570997  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Chris Caldwell, Bertrand's postulate at Prime Pages glossary.
• H. Ricardo (২০০৫), "Goldbach's Conjecture Implies Bertrand's Postulate", Amer. Math. Monthly, 112: 492 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (২০০৭)। Multiplicative number theory I. Classical theory। Cambridge tracts in advanced mathematics। 97। Cambridge: Cambridge Univ. Press। পৃষ্ঠা 49। আইএসবিএন 978-0-521-84903-6। 
• J. Sondow (২০০৯), "Ramanujan primes and Bertrand's postulate", Amer. Math. Monthly, 116 (7): 630–635, arXiv:0907.5232 , ডিওআই:10.4169/193009709x458609 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)