Racionalni broj

Racionalni brojevi su svi mogući brojevi koje možemo napisati u obliku razlomaka, tj. a/b, gdje je a cijeli broj, koji zovemo brojnikom, a b je prirodan broj, koji nazivamo nazivnikom.

Skup racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek bila moguća na skupu cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Ako su a,b,c${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$ kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji
cijeli broj c takav da je a=b×c

Definicija skupa racionalnih brojeva: Skup racionalnih brojeva${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je skup svih klasa ekvivalencije
na skupu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ x ${\displaystyle \mathbb {N} }$, odnosno ${\displaystyle \mathbb {Q} }$={m/n: m${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$, n${\displaystyle \in \mathbb {N} }$} Dok su skupovi ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ diskretni, skup ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je gust (između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Za brojanje raznih predmeta i životinja dovoljni su cijeli brojevi, djeca broje jabuke i kruške, također, cijelim brojevima, ali ako jednu jabuku treba da podijeli dvoje djece onda je svako od njih dobio pola jabuke . To pišemo sa 1/2.

Da je trebalo jabuku dijeliti na tri dijela, pisali bi da je svatko dobio 1/3 jabuke.
Dakle, skup racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Ako su a,b,c${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$ kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji
cijeli broj c takav da je a=b×c

Definicija skupa racionalnih brojeva:

Skup racionalnih brojeva${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je skup svih klasa ekvivalencije
na skupu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ x ${\displaystyle \mathbb {N} }$, odnosno ${\displaystyle \mathbb {Q} }$={m/n: m${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$, n${\displaystyle \in \mathbb {N} }$} Dok su skupovi ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ diskretni, skup ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Definicija

Skup racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je skup svih klasa ekvivalencije na skupu ${\displaystyle \mathbb {Z} x\mathbb {N} ,}$ odnosno

${\displaystyle \mathbb {Q} =}$ {${\displaystyle {\frac {m}{n}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }$}

Dok su skupovi ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ diskretni, skup ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Sabiranje

U skupu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definisano je sabiranje

${\displaystyle {\frac {a}{b}+{\frac {c}{d}={\frac {ad+bc}{bd}$ za ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle d\neq 0}$

Osobine sabiranja

Radi lakšeg pisanja uvedimo oznaku

${\displaystyle {\frac {a}{b}=r}$

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=r_{2}+r_{1}$ komutativnost

${\displaystyle (r_{1}+r_{2})+r_{3}=r_{1}+(r_{2}+r_{3})}$ asocijativost

${\displaystyle r+(-r)=0}$ inverzan broj

Brojevi ${\displaystyle {\frac {a}{b}$ i ${\displaystyle -{\frac {a}{b}$ su suprotni

${\displaystyle r+0=r}$ neutralan elemenat

Oduzimanje

Kao i u skupu cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oduzimanje se svodi na sabiranje

${\displaystyle r_{1}-r_{2}=r_{1}+(-r_{2})}$

Množenje

U skupu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definisano je množenje

${\displaystyle {\frac {a}{b}*{\frac {c}{d}={\frac {ac}{bd}$ za ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle d\neq 0}$

Osobine množenja

${\displaystyle r_{1}*r_{2}=r_{2}*r_{1}$ komutativnost

${\displaystyle (r_{1}*r_{2})*r_{3}=r_{1}*(r_{2}*r_{3})}$ asocijativnost

${\displaystyle r*{\frac {1}{r}=1}$ inverzan broj

${\displaystyle r*1=r}$ neutralan elemenat

${\displaystyle r*(-1)=-r}$

${\displaystyle r*0=0}$

${\displaystyle {\frac {0}{a}=0}$

${\displaystyle r_{1}(r_{2}+r_{3})=r_{1}*r_{2}+r_{1}*r_{3}$ distribucija množenja u odnosu na dijeljenje

Dijeljenje

${\displaystyle {\frac {a}{b}:{\frac {c}{d}={\frac {a}{b}*{\frac {d}{c}={\frac {ad}{bc}$

Upoređivanje

${\displaystyle {\frac {a}{b}<{\frac {c}{d}=>ad<bc}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}={\frac {c}{d}=>ad=bc}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}>{\frac {c}{d}=>ad>bc}$

Dvojni razlomak

${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}{\frac {c}{d}={\frac {ad}{bc}$

Proširivanje i skraćivanje razlomaka

${\displaystyle {\frac {a}{b}={\frac {am}{bm}$ proširivanje razlomaka

${\displaystyle {\frac {an}{bn}={\frac {a}{b}$ skraćivanje razlomaka

Vanjski linkovi