Derivada direccional

Per claredat es farà la demostració pel cas d'una funció de dues variables, el cas general s'obté de la mateixa manera. Sia una funció derivable ${\displaystyle z=f(x,y)\;}$. La derivada direccional en la direcció d'un vector ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$ és:

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}$

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y+v_{y}h)+f(x,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}$

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y+v_{y}h)}{h}+\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}$

El primer d'aquests límits es pot calcular amb el canvi ${\displaystyle h'=v_{x}h\;}$ això, pel fet de ser derivable la funció, condueix a:

${\displaystyle \lim _{h'\to 0}{\cfrac {f(x+h',y+v_{y}h'/v_{x})-f(x,y+v_{y}h'/v_{x})}{h'/v_{x}=\lim _{h'\to 0}v_{x}{\frac {\partial f(x,y+v_{y}h'/v_{x})}{\partial x}=v_{x}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}$

Fent el mateix amb l'altre límit i sumant s'obté:

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f=v_{x}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}+v_{y}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}$

Aquest resultat coincideix amb el producte escalar del gradient pel vector ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$:

${\displaystyle (\nabla f)\cdot \mathbf {v} =\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x},{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}\right)\cdot (v_{x},v_{y})={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}v_{x}+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}v_{y}=D_{\mathbf {v} }f}$