Funció de Lommel

Les funcions de Lommel són funcions especials que són les solucions de l'equació diferencial de Lommel, que és una forma no homogénea de l'equació diferencial de Bessel:

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}+z{\frac {dy}{dz}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.}$

Les solucions d'aquesta equació poden representar-se com combinacions lineals de les anomenades funcions de Lommel, de les que hi ha dos tipus (les funcions s_μ,ν(z) i les funcions S_μ,ν(z)), introduïdes per Eugen von Lommel (1880) :

${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\right],}$

${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}\right]Y_{\nu }(z)\right).}$

on J_ν(z) és una funció de Bessel del primer tipus i Y_ν(z) una funció Bessel del segon tipus.

Les funcions de Lommel dependents d'una sola variable ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)}$ i ${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$satisfant l'equació diferencial lineal anomenada «equació de Lommel»:

${\displaystyle z^{2}{\frac {dy}{dz^{2}+z{\frac {dy}{dz}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}$

La funció ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)}$ és la solució, que es pot desenvolupar com una sèrie de potències:

${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)=z^{\mu -1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(z/2)^{2n+2}\Gamma ((\mu -\nu +1)/2)\Gamma ((\mu +\nu +1)/2)}{\Gamma ((\mu -\nu +3)/2+n)\Gamma ((\mu +\nu +3)/2+n)}$

Les solucions de l'equació diferencial lineal són ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)+AJ_{\nu }(z)+BJ_{-\nu }(z)}$, on ${\displaystyle J_{\pm \nu }$ és la funció de Bessel.

La funció ${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$ és definida com:

${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+{\frac {2^{\mu -1}\Gamma ((\mu -\nu +1)/2)\Gamma ((\mu +\nu +1)/2)}{\sin \pi \nu }\left[\cos(\pi (\mu -\nu )/2)\;J_{-\nu }(z)-\cos(\pi (\mu +\nu )/2)\;J_{\nu }(z)\right]}$.

Les funcions d'Anger, les funcions de Weber i les funcions de Struve són casos especials de funcions de Lommel.

Les funcions ${\displaystyle U_{n}(w,z)}$ i ${\displaystyle V_{n}(w,z)}$ es defineixen com a sèries de Neumann, és a dir, com a desenvolupament basat en les funcions de Bessel:

${\displaystyle U_{\nu }(w,z)=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\left({\frac {w}{z}\right)^{\nu +2m}J_{\nu +2m}(z)}$

${\displaystyle V_{\nu }(w,z)=\cos \left({\frac {w}{2}+{\frac {z}{2w}+{\frac {\nu \pi }{2}\right)+U_{2-\nu }(w,z)}$

Aquestes funcions són importants en la teoria de la difracció.

• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. «Higher transcendental functions» ( PDF). McGraw-Hill Book Company, Inc. [Nova York-Toronto-London], II, 1953. Arxivat de l'original el 2011-07-14 [Consulta: 15 març 2019].
• Lommel, E. «Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function» (en anglès). Math. Ann., 3, 1875, pàg. 425–444. DOI: 10.1007/BF01443342.
• Lommel, E. «Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV» (en anglès). Math. Ann., 2, 1880, pàg. 183–208. DOI: 10.1007/BF01446386.
• Paris, R. B. (2010), "Lommel function", en Olver Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248
• Solomentsev, E.D.. Michiel Hazewinkel (ed.). l/l060800. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

• E. Lommel Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function Math. Ann. 9, 425 (1876) (alemany)
• G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 345-352 (alemany)
• E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 229 (1886) (alemany)
• E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 529 (1886) (alemany)
• J. Walker The analytical theory of light (Cambridge University Press, 1904) (anglès)
• G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 537-550 (anglès)
• A. Gray e G. B. Mathews A treatise on Bessel functions and their applications to physics pp. 165-209 (London: Macmillan and co., 1895) (anglès)

• Funció d'Anger
• Polinomi de Lommel
• Funció de Struve
• Funció de Weber

• Weisstein, Eric W. "Lommel Differential Equation." de MathWorld—A Wolfram Web Resource (anglès).
• Weisstein, Eric W. "Lommel Function." de MathWorld—A Wolfram Web Resource (anglès).