Funció zeta d'Airy

En matemàtiques, la funció zeta d'Airy, estudiada per Crandall (1996), és una funció anàloga a la funció zeta de Riemann i relacionada amb els zeros de la funció d'Airy.

Definició

La funció d'Airy

${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\infty }\cos \left({\tfrac {1}{3}t^{3}+xt\right)\,dt,}$

és positiva per a ${\displaystyle x}$ positius, però oscil·la per a valors negatius de ${\displaystyle x}$; la seqüència de valors de ${\displaystyle x}$ per als quals ${\displaystyle Ai(x)=0}$, classificada pels seus valors absoluts, són anomenats els zeros Airy i es denoten a₁, a₂, ...

La funció zeta d'Airy és la funció definida a partir d'aquesta seqüència de zeros per la sèrie

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(s)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{i}|^{s}.}$

Aquesta sèrie convergeix quan la part real de ${\displaystyle s}$ és més gran que 3/2, i es pot estendre per continuació analítica a altres valors de ${\displaystyle s}$.

Avaluació en nombres enters

Igual que la funció zeta de Riemann, on el valor ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ és la solució al problema de Basilea, la funció zeta d'Airy es pot avaluar exactament en ${\displaystyle s=2}$:

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(2)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}^{2}={\frac {3^{5/3}\Gamma ^{4}({\frac {2}{3})}{4\pi ^{2},}$

on Γ és la funció gamma, una variant contínua del factorial. També són possibles avaluacions similars per als valors sencers més grans de ${\displaystyle s}$.

Es conjectura que la prolongació analítica de la funció zeta d'Airy avaluat en 1 és

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(1)={\frac {-3^{-2/3}\Gamma ({\frac {2}{3})}{\Gamma ({\frac {4}{3})}.}$

Referències

• Crandall, Richard E. «On the quantum zeta function». Journal of Physics. A. Mathematical and General, 29, 21, 1996, p. 6795–6816. DOI: 10.1088/0305-4470/29/21/014. ISSN: 0305-4470.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Airy Zeta Function» a MathWorld (en anglès).