Kappa (corba)

En geometria, la corba kappa o la corba de Gutschoven és una corba algebraica bidimensional que s'assembla a la lletra grega Κ (kappa).

Fent ser vir el Sistema de coordenades cartesianes es pot expressar com:

${\displaystyle y^{2}(x^{2}+y^{2})=a^{2}x^{2}$

o, fent servir equacions paramètriques:

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&a\cos t\,\cot t\\y&=&a\cos t\end{matrix}$

En coordenades polars la seva equació és fins i tot més simple:

${\displaystyle r=a\tan \theta }$

Té dues asímptotes verticals a ${\displaystyle x=\pm a}$, que es mostren com rectes blaves a traços a la figura de la dreta.

La curvatura de la corba kappa és:

${\displaystyle \kappa (\theta )={8\left(3-\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{4}\theta \over a\left[\sin ^{2}(2\theta )+4\right]^{3 \over 2}$

L'angle tangent:

${\displaystyle \phi (\theta )=-\arctan \left[{1 \over 2}\sin(2\theta )\right]}$

La corba de kappa va ser estudiada per primera vegada per Gérard van Gutschoven al voltant de 1662. Altres matemàtics famosos que l'han estudiat inclouen Isaac Newton i Johann Bernoulli.

Les seves tangents varen ser calculades per primera vegada per Isaac Barrow al segle xvii.

Derivada

Emprant diferenciació implícita, és possible trobar que la derivada de la corba kappa és:

${\displaystyle 2y{\frac {dy}{dx}(x^{2}+y^{2})+y^{2}(2x+2y{\frac {dy}{dx})=2a^{2}x}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}(2yx^{2}+4y^{3})+2xy^{2}=2a^{2}x}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}={\frac {x(a^{2}-y^{2})}{y(x^{2}+2y^{2})}$

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Kappa curve» a MathWorld (en anglès).
• Un applet Java per jugar amb la corba Arxivat 2019-10-23 a Wayback Machine.

Viccionari