Operador adjunt

En matemàtiques, l'adjunt d'un operador, si existeix, és un nou operador definit en un espai vectorial sobre el cos dels nombres reals o dels complexos, dotat d'un producte escalar. Hom diu que un tal espai és prehilbertià.

Si l'operador inicial és continu i si l'espai vectorial és complet, llavors l'adjunt sempre està definit. Aquestes condicions sempre es compleixen en dimensió finita. L'aplicació que assigna un operador al seu adjunt és semilineal, contínua i bijectiva. Addicionalment, és una isometria involutiva. L'espai dels operadors es descompon en dos subespais vectorials suplementaris i ortogonals. Són els espais propis de l'aplicació associats als valors propis 1 i -1.

Alguns operadors disposen d'una compatibilitat amb el producte escalar. Aquest és el cas si un operador commuta amb el seu adjunt. Llavors hom diu que és un operador normal. Tres casos importants són els operadors autoadjunts (adjunts d'ells mateixos), els operadors antiautoadjunts (adjunts del seu oposat) i els operadors unitaris (inversos del seu adjunt). Sobre un espai vectorial real, els termes emprats són, respectivament: simètric, antisimètric i ortogonal.

La noció d'operador adjunt té nombroses aplicacions. En dimensió finita i sobre el cos dels complexos, l'estructura dels endomorfismes normals és simple, ja que són diagonalitzables sobre una base ortonormal. El cas de dimensió infinita és més complex. Aquest concepte és important en anàlisi funcional. El cas autoadjunt és de particular importància, perquè proveeix del marc més senzill per la teoria espectral. En la teoria dels operadors, una C*-àlgebra és un espai de Banach dotat d'una llei de composició interna anàloga a la composició d'operadors, i d'una operació estrella que té les mateixes propietats que l'aplicació que assigna un operador al seu adjunt.

L'adjunt d'un operador és una noció que correspon a situacions molt diferents. Aquesta noció pot aplicar-se en el cas d'un espai euclidià o d'un espai hermític, és a dir, en dimensió finita. També pot referir-se al context més simple de l'anàlisi funcional, és a dir, dins un espai de Hilbert o d'un espai prehilbertià. Finalment, també pot aplicar-se a un marc més general dels espais de Banach. Per aquesta raó coexisteixen dues definicions.

Aquesta definició cobreix a la pràctica dos marcs teòrics lleugerament diferents: el cas de dimensió finita, i el cas en què no es fa cap hipòtesi sobre la dimensió. Així, correspon a un primer cas d'anàlisi funcional, el més senzill. En general, l'espai vectorial escollit és un espai de Hilbert, és a dir, un espai prehilbertià complet. Com que és relativament fàcil completar un espai prehilbertià i els teoremes que hom disposa són molt més nombrosos, aquest àmbit és utilitzat a bastament. Aquests dos casos es poden contemplar amb una sola definició:

Sigui H un espai prehilbertià sobre un cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$ igual al dels reals ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o al dels complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Notem per ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ el producte escalar. Siguin ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle a^{*}$ dos operadors sobre H. L'operador ${\displaystyle a^{*}$ es diu adjunt de ${\displaystyle a}$ si:[1] ${\displaystyle \forall x,y\in H\quad \langle a(x),y\rangle =\langle x,a^{*}(y)\rangle }$

Hom acostuma a simbolitzar per * l'adjunt d'un operador.

Com es mostra en aquest article, l'aplicació *, que associa un endomorfisme al seu adjunt, és una aplicació semilineal de l'espai d'endomorfismes. Aquest espai disposa, amb la composició dels endomorfismes, d'una estructura d'àlgebra. Una aplicació * que té les mateixes característiques que l'aplicació adjunta i definida sobre una àlgebra és el marc d'una estructura anomenada C*-àlgebra. La imatge d'un element a per l'aplicació * s'anomena adjunt de a.^[2]

En anàlisi funcional, no tots els espais tenen un producte escalar. Tanmateix, l'aproximació pels adjunts encara té sentit. L'operador a té propietats més febles que les del paràgraf anterior.

En el cas general, ja no està fitat; és a dir, no existeix necessàriament un suprem de la norma de la imatge d'un vector de la bola unitat. Així, la derivada d'una funció de variable real en el conjunt real té suport compacte, infinitament diferenciable, i afitat. Aquest espai, amb la norma de la convergència uniforme, és important per la definició de les distribucions. La derivada és un operador lineal no fitat que té un rol important en anàlisi funcional.

Un operador a no té per què estar definit sobre tot l'espai de Banach. Així, la funció derivada no està definida per tota funció de l'interval (-1/2, 1/2) de ℝ i integrable en valor absolut. Per la mateixa raó que hem vist abans, encara té sentit considerar aquest operador.

En aquest paràgraf, E i F designen dos espais de Banach, a és un operador no fitat de E cap a F, i E* i F* denoten els espais duals de E i F (entenent «dual» com a «dual topològic»). El terme D(a) denota el domini de a, és a dir, el subespai vectorial sobre el qual a està definit. Suposem que aquest domi és dens dins E. La notació <·,·>_E (resp. <·,·>_F) denota el claudàtor de dualitat, que correspon a l'aplicació bilineal de E*×E (resp. F*×F) que, a un parell configurat per una forma lineal i un vector de E (resp. F) li associa un escalar.

El domini denotat per D(a*) de l'operador adjunt de a és el següent subconjunt de F*: ${\displaystyle {\mathcal {D}(a^{*})=\{y^{*}\in F^{*},\;\exists c\geq 0,\;\forall x\in {\mathcal {D}(a)\quad |\langle y^{*},a(x)\rangle _{F}|\leq c\|x\|\}$

Això permet definir el següent:^[3]

L'operador adjunt a* de a és l'operador de D(a*) dins E* que verifica la igualtat: ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {D}(a),\;\forall y^{*}\in {\mathcal {D}(a^{*})\quad \langle y^{*},a(x)\rangle _{F}=\langle a^{*}(y^{*}),x\rangle _{E}$

Habitualment, ${\displaystyle F=E}$; en aquest cas l'adjunt és un operador de E*.

En aquesta secció, suposarem que H és un espai de Hilbert, és a dir, un espai prehilbertià complet. En aquest cas, el dual topològic s'identifica amb l'espai H. Els resultats obtinguts en el cas de les formes bilineals s'apliquen sense gaire modificacions.

El cas de dimensió finita és una mica més senzill, ja que tota aplicació lineal és contínua, i l'isomorfisme entre un espai i el seu dual és més evident.

Observació: En el cas en què el cos subjacent a H sigui el dels complexos, el producte escalar és sesquilineal. En aquest article, suposarem que la forma és lineal en la primera variable i antilineal per la segona. El conjugat d'un escalar ${\displaystyle \lambda }$ es denota per ${\displaystyle {\bar {\lambda }$ en aquest article. Si no es diu el contrari, els enunciats estan expressats pels espais complexos. Continuen essent certs pels reals, on l'aplicació de conjugació esdevé la identitat.

Tot operador sobre H admet un adjunt (únic).

En efecte, sigui a un operador fitat. Sigui y un vector de H; llavors l'aplicació que envia un vector x cap a <a(x)|y> és una forma bilineal contínua. El teorema de representació de Riesz garanteix l'existència d'un vector z (únic) tal que aquesta forma lineal contínua coincideix amb l'aplicació que envia x a <x|z>. L'aplicació a* que envia y cap a z és l'adjunt de a.

Recíprocament si dues aplicacions qualssevol ${\displaystyle a,a^{*}:H\to H}$ verifiquen

${\displaystyle \forall x,y\in H\quad \langle a(x),y\rangle =\langle x,a^{*}(y)\rangle }$

llavors ${\displaystyle a,a^{*}\,}$ són totes dues lineals i contínues.

Vegem-ho per exemple per ${\displaystyle a^{*}$. La linealitat és una conseqüència directa de les propietats de la bilinealitat i del fet que el producte escalar no és degenerat. Utilitzem:

${\displaystyle \forall x,y_{1},y_{2}\in H,\;\forall \lambda \in \mathbb {K} \quad (x|a^{*}(y_{1}+\lambda y_{2}))=(a(x)|y_{1}+\lambda y_{2})=(a(x)|y_{1})+{\bar {\lambda }(a(x)|y_{2})}$

i d'aquí deduïm que

${\displaystyle (x|a^{*}(y_{1}+\lambda y_{2}))=(x|a^{*}(y_{1}))+(x|\lambda a^{*}(y_{2}))}$

d'on obtenim

(1)${\displaystyle (x|a^{*}(y_{1})+\lambda a^{*}(y_{2})-a^{*}(y_{1}+\lambda y_{2}))=0\;}$

La igualtat (1) és certa per qualsevol valor de x, la qual cosa implica que el terme de la dreta és nul. Això demostra la linealitat de a*.

Per veure la continuïtat de ${\displaystyle a^{*}$^[4] n'hi ha prou, arran del teorema de la gràfica tancada, amb veure que si x_n tendeix cap a x i si a*(x_n) tendeix cap a y, llavors a*(x)=y. Aquestes dues hipòtesis impliquen (utilitzant l'equació d'adjunció) que per tot z, <z,a*(x_n)> tendeix alhora cap a <z,a*(x)> i cap a <z,y>, d'on podem deduir que a*(x)-y és nul (i per tant ortogonal a tot z).

En molts aspectes, l'adjunt és una imatge mirall de l'operador.

L'adjunt de l'operador a és lineal.

Aquest resultat (que no fa servir la linealitat de a) l'hem demostrat més amunt.

En dimensió finita, la matriu de l'adjunt és igual a la transposada de la matriu conjugada de a.

Demostració
La demostració és simple. Sigui A la matriu de a dins una base de H, i sigui X (resp. Y) la matriu d'un vector x (resp. y) de H. ${\displaystyle \varphi (a(x)|y)={}^{t}\!(A\cdot X)\cdot {\bar {Y}={}^{t}\!X\cdot ({}^{t}\!A\cdot {\bar {Y})={}^{t}\!X\cdot {\overline {({}^{t}\!{\bar {A}\cdot Y)}=(x|a^{*}(y))}$

Si l'operador a és fitat, llavors l'adjunt també ho és, i la norma operacional de a és igual a la de l'adjunt.

Aquí, el terme «fitat» significa que la imatge de la bola unitat és fitada. Un operador és fitat si i només si és continu.

Hem demostrat abans la continuïtat de l'adjunt a partir del teorema de la gràfica tancada, sense suposar que a és tancat. Amb la hipòtesi que a és fitat, la demostració és més senzilla: n'hi ha prou amb veure que la norma de a (i la del seu adjunt) és igual a la norma de la forma bilineal o sesquilineal que a x i y els associa (a(x) | y) = (x | a*(y)).

La norma de la composició de a amb el seu adjunt és igual al quadrat de la norma de a:

${\displaystyle \|a\circ a^{*}\|=\|a\|^{2}=\|a^{*}\|^{2}$

Les propietats d'ortogonalitat associades a les formes bilineals es presenten en el següent context:

El nucli de a és igual a l'ortogonal de la imatge de a*, i el nucli de a* és igual a l'ortogonal de la imatge de a: ${\displaystyle {\text{Ker}\,a=({\text{Im}\,a^{*})^{\bot }\quad {\text{i}\quad {\text{Ker}\,a^{*}=({\text{Im}\,a)^{\bot }$

Demostració
La demostració és immediata, arran de la cadena d'equivalències següent: ${\displaystyle \forall x\in H,\;x\in {\text{Ker}\,a^{*}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \forall y\in H\quad (a^{*}(x)|y)=0}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \forall y\in H\quad (x|a(y))=0}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow x\in ({\text{Im}\,a)^{\bot }$

Un corol·lari immediat és que, en dimensió finita, a i a* tenen el mateix rang, perquè l'ortogonal d'un espai vectorial tancat és un subespai complementari. En el cas de dimensió infinita, si a és injectiu, llavors a* té una imatge densa dins H, la qual cosa no vol dir que a* sigui exhaustiu.

Una demostració anàloga permet establir el resultat següent:

L'ortogonal del nucli de a és igual a l'adherència de la imatge de l'adjunt de a. Addicionalment, l'adherència de la imatge de a és l'ortogonal del nucli de l'adjunt. ${\displaystyle ({\text{Ker}\,a)^{\bot }={\overline {\text{Im}\,a^{*}\quad {\text{i}\quad ({\text{Ker}\,a^{*})^{\bot }={\overline {\text{Im}\,a}$

L'adherència d'un conjunt E és el conjunt tancat més petit que el conté, simbolitzat per ${\displaystyle {\overline {E}$. En dimensió finita, tot subespai és tancat, i l'ortogonal del nucli de a és igual a la imatge de l'adjunt de a.

Sigui E un subespai invariant per a. Llavors l'ortogonal de E és invariant per a*.

Demostració

La demostració és similar al cas anterior. Sigui y un element de l'ortogonal de E. La seva imatge per a* és ortogonal a E: ${\displaystyle \forall x\in E\quad (x|a^{*}(y))=(a(x)|y)=0}$ En dimensió infinita, si E no és tancat, el recíproc no és cert (per exemple, si E és un hiperplà no tancat, el seu ortogonal sí que és estable per a* —ja que es redueix al vector nul—, mentre que E no és estable per a en general).

És possible considerar l'aplicació * de L(H) en ell mateix, que a l'operador a li associa l'adjunt a*. L'espai de partida L(H) no només està dotat d'una estructura d'espai vectorial, sinó també d'una àlgebra associativa amb la llei de composició com a producte intern. També és possible considerar un altre producte intern ${\displaystyle \scriptstyle \star }$ definit per:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {L}(H)\quad a\star b=b\circ a}$

L'espai L(H)^op denota l'àlgebra L(H) dotada de la multiplicació ${\displaystyle \scriptstyle \star }$:

L'aplicació adjunta és un isomorfisme isomètric antilineal d'àlgebres entre L(H) i L(H)op.

Demostració

L'antilinealitat és una conseqüència directa del caràcter sesquilineal del producte escalar: ${\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {L}(H),\;\forall \lambda \in \mathbb {K} ,\;\forall x,y\in H\quad ((a+\lambda .b)(x)|y)=(a(x)|y)+\lambda (b(x)|y)=(x|(a^{*}+{\bar {\lambda }b^{*})(y))}$ La conservació del producte intern es pot demostrar de forma anàloga: ${\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {L}(H)\;\forall x,y\in H\quad (a\circ b(x)|y)=(b(x)|a^{*}(y))=(x|b^{*}\circ a^{*}(y))}$

L'afirmació de què l'aplicació adjunta és un isomorfisme d'àlgebres significa que, a més de conservar-se la linealitat, també es verifica la propietat següent:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {L}(H)\quad (a\circ b)^{*}=b^{*}\circ a^{*}$

L'aplicació adjunta és involutiva. Aquesta propietat significa que >${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {L}(H)\quad a^{**}=a}$.

Demostració
Aquesta propietat és una conseqüència del caràcter hermític del producte escalar: ${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {L}(H),\;\forall x,y\in H\quad (a(x)|y)=(x|a^{*}(y))={\overline {(a^{*}(y)|x)}={\overline {(y|a^{**}(x))}=(a^{**}(x)|y)}$

En dimensió finita, una involució és una simetria; és a dir, és un endomorfisme diagonalitzable de valors propis 1 i -1, i amb dos espais propis suplementaris (un espai propi per a cada valor propi). Aquesta propietat és general per qualsevol espai de Hilbert.

L'espai L(H) admet dos subespais suplementaris que són espais propis per l'aplicació adjunta de valors propis 1 i -1. Un vector propi de valor propi associat 1 (resp. -1) s'anomena autoadjunt (resp. antisimètric).

Demostració
Considerem l'aplicació p de L(H) en ell mateix que assigna a un operador a l'operador (a + a*)/2. Aquesta aplicació és una projecció sobre l'espai dels operadors autoadjunts, i la projecció és paral·lela a l'espai dels antisimètrics. El teorema es demostra arran de les propietats de les projeccions.

En dimensió finita, l'espai propi de valor propi associat 1 (resp. -1) és de dimensió n(n + 1)/2 (resp. n(n - 1)/2), si n denota la dimensió de H.

Demostració
Considerem l'aplicació de L(H) en el conjunt L₂(H), l'espai de formes sesquilineals. Aquesta aplicació és un isomorfisme que envia l'espai dels autoadjunts (resp. antisimètrics) cap a les formes simètriques (resp. alternades). Com que les formes simètriques (resp. alternades) formen un espai vectorial de dimensió n(n + 1)/2 (resp. n(n - 1)/2), hem verificat la proposició.

En dimensió finita, si el cos K és el dels nombres complexos, els endomorfismes autoadjunts i antisimètrics són diagonalitzables; és a dir, existeix una base de E de vectors propis. Aquesta propietat és certa per tots els operadors normals, és a dir, que commuten amb el seu adjunt. Els automorfismes ortogonals (aquells que conserven el producte escalar) són normals i, per tant, diagonalitzables.

Si el cos K és el dels nombres reals, els endomorfismes autoadjunts sempre són diagonalitzables.

L'espectre d'un operador a és el conjunt dels escalars λ tals que l'aplicació a - λ·Id no és bijectiva (Id denota l'aplicació identitat). En dimensió finita és el conjunt dels valors propis. En dimensió infinita, aquest conjunt pot ser més gran (vegeu l'article Espectre (anàlisi funcional)).

L'espectre de l'operador a* és el conjugat de l'espectre de a.

Demostració
Un operador és bijectiu si i només si el seu adjunt ho és (a partir de la propietat que ${\displaystyle (a\circ b)^{*}=b^{*}\circ a^{*}$). Si l'apliquem a a - λId, obtenim el resultat desitjat.

Existeixen propietats addicionals si H és de dimensió finita:

Si H és de dimensió finita, el determinant (resp. el polinomi característic) de a* és el conjugat del determinant de a.

Demostració

L'article Determinant (matemàtiques) mostra que una matriu quadrada té el mateix determinant que la seva transposada. A més, el determinant de la conjugada d'una matriu és el conjugat del determinant. El fet que el determinant d'un endomirfisme sigui igual al determinant de la seva matriu implica que el determinant de l'adjunt de a és el conjugat del determinant de a. Les mateixes propietats, aplicades a l'endomorfisme a - λId, demostren la igualtat dels polinomis característics.

Si H és de dimensió finita, el polinomi mínim de a* és el conjugat del polinomi mínim de a.

Demostració

Sigui P(X) el polinomi mínim de a. L'endomorfisme P(a) és nul, i el conjugat també és nul, la qual cosa demostra que el polinomi conjugat de P(X) anuŀla l'adjunt i, per tant, el seu conjugat és múltiple del polinomi de a*. De la mateixa manera, es pot demostrar que el polinomi conjugat del polinomi mínim de l'adjunt anuŀla a. Com que tots dos polinomis són múltiples l'un de l'altre, han de diferir només en un factor escalar. Finalment, com que tots dos són unitaris, en concloem la igualtat.

Com a conseqüència, si λ és un valor propi de multiplicitat m de l'operador a (és a dir, si λ és una arrel d'ordre m del seu polinomi característic), llavors el conjugat de λ és un valor propi de multiplicitat m de l'operador a*. De la mateixa forma, si λ és una arrel d'ordre m del polinomi mínim de a (és a dir, si m és el menor enter tal que el nucli de (a -λId)^m és igual al nucli de (a -λId)^m+1), llavors el conjugat de λ és una arrel d'ordre m del polinomi mínim de a*.

Aquest article o secció necessita l'atenció d'un expert en la matèria. Si us plau, ajudeu a trobar-ne un o milloreu aquesta pàgina vosaltres mateixos si podeu. (Vegeu la discussió).

Existeixen diverses propietats vàlides per espais de Hilbert que poden ésser generalitzades. L'anàlisi de l'adjunt d'un operador en el marc més general dels espais de Banach posseeix certes analogies amb el cas precedent. Tanmateix, les tècniques emprades són lleugerament diferents. En aquesta secció, E i F denoten espais de Banach, i a és un operador no fitat de E cap a F.

Com hem vist anteriorment, tot operador a adment un únic adjunt. Més precisament:

Per qualsevol operador no fitat a de D(a) de F, existeix un únic adjunt, i l'adjunt és lineal.

Demostració

Observem que D(a*) és un espai vectorial. Siguin y1* (resp. y₂*) un vector de D(a*), λ un element de K i c1 (resp. c₂) una constant que verifica la propietat següent: ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {D}(a)\quad |\langle y_{1}^{*},a(x)\rangle |\leq c_{1}\|x\|\quad {\text{i}\quad |\langle y_{2}^{*},a(x)\rangle |\leq c_{2}\|x\|}$ La fita següent mostra que y1* + λy₂* és un element de D(a*). ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {D}(a)\quad |\langle y_{1}^{*}+\lambda y_{2}^{*},a(x)\rangle |\leq |\langle y_{1}^{*},a(x)\rangle |+\lambda |\langle y_{2}^{*},a(x)\rangle |\leq (c_{1}+|\lambda |c_{2})\|x\|}$ Sigui y* un element de D(a*). Per defecte, a*(y*) és una forma lineal contínua sobre D(a). El conjunt d'arribada K és complet, la forma és contínua i, per tant, uniforme contínuament, i es pot estendre per continuïtat de manera única. Així, l'aplicació a*(y*) és un element de E*. La linealitat de a* és una conseqüència de la bilinealitat de <·,·>.

La qüestió és ara conèixer si D(a*) és dens en el dual de F.

Si a és un operador tancat, llavors per la topologia feble del dual de F, D(a*) és dens dins el dual de F. Si, a més, F és reflexiu, llavors D(a*) és dens per la topologia usual.

El teorema de la gràfica tancada diu que un operador a és continu si i només si la seva gràfica és tancada. La gràfica de a és el subespai vectorial de E×F formada pels punts (x, a(x)) quan x recorre D(a). Hom diu que un operador és tancat si la seva gràfica és tancada, i de la mateixa manera fitat o continu. Per una raó d'estil, és més freqüent parlar d'un operador no fitat tancat que d'un operador no tancat fitat, encara que aquestes dues expressions vulguin dir el mateix.

Un operador no fitat a amb domini dens té un adjunt tancat.

Demostració

Sigui (vn*) una successió de D(a*) convergent cap a v* dins l'espai dual de F i tal que la successió a*(vn*)) també convrgeixi, en aquest cas cap a u* dins l'espai dual de E. L'objectiu és demostrar que (v*, u*) és un element de la gràfica de l'adjunt de a. Es compleix la igualtat següent: ${\displaystyle \forall x\in E,\;\forall n\in \mathbb {N} \quad \langle v_{n}^{*},a(x)\rangle =\langle a^{*}(v_{n}^{*}),x\rangle }$ El pas al límit ens mostra que: ${\displaystyle \forall x\in E\quad \langle v^{*},a(x)\rangle =\langle u^{*},x\rangle \leq \|u^{*}\|\cdot \|x\|}$ La darrera fita mostra que v* és un element de D(a*), i la igualtat significa que u* és la imatge de v* per a*. En conseqüència, el punt (v*, u*) és un element de la gràfica de a*, com volíem demostrar.

Si a és tancat i té domini dens, llavors les propietats d'ortogonalitat corresponents a la situació hilbertiana continuen essent certes:

El nucli de a és igual a l'ortogonal de la imatge de a*, i el nucli de a* és igual a l'ortogonal de la imatge de a:

${\displaystyle {\text{Ker}\,a=({\text{Im}\,a^{*})^{\bot }\quad {\text{i}\quad {\text{Ker}\,a^{*}=({\text{Im}\,a)^{\bot }$

Demostració

Observem que, com que a és continu, el domini de a* és el dual de F sencer, per tant ${\displaystyle x\in {\text{Ker}\,a\Leftrightarrow \forall y^{*}\in F^{*}\;\langle y^{*},a(x)\rangle =0\Leftrightarrow \forall y^{*}\in {\mathcal {D}(a^{*})\;\langle a^{*}(y^{*}),x\rangle =0}$ Això demostra la primera igualtat. Per altra banda, observem que, com que D(a) és dens a E, un vector del dual de E és nul si i només si és ortogonal a D(a), per tant ${\displaystyle y^{*}\in {\text{Ker}\,a^{*}\Leftrightarrow \forall x\in {\mathcal {D}(a)\;\langle a^{*}(y^{*}),x\rangle =0\Leftrightarrow \forall x\in {\mathcal {D}(a)\;\langle y^{*},a(x)\rangle =0}$ Això demostra la segona igualtat.

La situació és lleugerament diferent per l'ortogonal dels nuclis:

L'ortogonal del nucli de a conté l'adherència de la imatge de l'adjunt de a, i l'ortogonal del nucli de l'adjunt de a és l'adherència de la imatge de a:

${\displaystyle ({\text{Ker}\,a)^{\bot }\supset {\overline {\text{Im}\,a^{*}\quad {\text{i}\quad ({\text{Ker}\,a^{*})^{\bot }={\overline {\text{Im}\,a}$

Demostració
L'estudi de les formes bilineals mostra que l'ortogonal de l'ortogonal d'un espai vectorial conté l'adherència de l'espai inicial. L'ortogonal de l'ortogonal de la imatge de l'adjunt de a conté, per tant, l'adherència de la imatge de l'adjunt de a. La proposició anterior permet concloure ${\displaystyle ({\text{Ker}\,a)^{\bot }\supset {\overline {\text{Im}\,a^{*}$

Si l'espai E és reflexiu, llavors l'ortogonal del nucli de a és igual a l'adherència de la imatge de a*; en cas contrari, la igualtat no està assegurada.

Amb les hipòtesis que a és tancat i amb domini dens, les següents propietats són equivalents: La imatge de a és tancada. La imatge de l'adjunt de a és tancada. La imatge de a és l'ortogonal del nucli de l'adjunt. La imatge de l'adjunt és l'ortogonal del nucli de a.

• Rudin, Walter. Analyse réelle et complexe : cours et exercises. 3. éd. París: Dunod, 1998. ISBN 978-210004004-9. 
• Grammatikas, Serge Lang; traduit de l'américain par Christos. Algèbre. 3e éd. rev.. París: Dunod, 2004. ISBN 978-2-10-007980-3. 
• Tzafriri, Joram Lindenstrauss, Lior. Classical Banach spaces. Reprint of the 1977, 1979 ed.. Berlín: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-354060628-4. 
• Pedersen, Gert Kjærgård. C*-algebras and their automorphism groups.. 2. print.. London [usw.]: Acad. Pr., 1979. ISBN 978-012549450-2. 

• L'adjoint d'un endomorphisme et ses propriétés (L'adjunt d'un endomorfisme i les seves propietats) Arxivat 2014-11-17 a Wayback Machine. per A. Morame de la Universitat de Nantes 2006. Aquest curs tracta el cas real en dimensió finita.
• Adjoint d'un endomorphisme (Adjunt d'un endomorfisme) Lloc web de la societat Cabrilog mantingut pel CNRS i la Universitat Joseph Fourier de Grenoble. Tracta del cas euclidià de dimensió 2.
• Analyse fonctionnelle et théorie spectrale (Anàlisi funcional i teoria espectral) Arxivat 2013-07-22 a Wayback Machine. B. Maurey, Universitat de PARIS VII. Correspon a un màster i tracta del cas general en espais de Banach.
• Adjoint d'un operateur (Adjunt d'un operador) Arxivat 2011-12-30 a Wayback Machine. per J.Ch. Gilbert de l'Inria. Aquest text es limita al cas d'espais de Banach.