Recurrència lineal amb coeficients constants
Equacions diferencials |
---|
Història de les equacions diferencials Cronologia de les equacions diferencials |
Classificació |
Conceptes generals Teorema de Picard-Lindelöf · Wronskià · Retrat de fase · Espai de fases Estabilitat: asimptòtica / exponencial / de Lyapunov Taxa de convergència · Integració numèrica · Delta de Dirac |
Mètodes de resolució Mètode de les característiques · Mètode d'Euler · Diferències finites · Elements finits · Volums finits · Mètode de Galerkin · Factor d'integració · Transformada integral · Teoria de la pertorbació · Runge-Kutta · Separació de variables · Coeficient indeterminats |
En matemàtiques (incloent la combinatòria, l'àlgebra lineal i els sistemes dinàmics), una recurrència lineal amb coeficients constants:[1] cap. 17:[2] cap. 10 (també conegut com a relació de recurrència lineal o equació de diferència lineal) estableix igual a 0 un polinomi que és lineal en les diferents iteracions d'una variable, és a dir, en els valors dels elements d'una seqüència. La linealitat del polinomi significa que cadascun dels seus termes té grau 0 o 1. Una recurrència lineal denota l'evolució d'alguna variable al llarg del temps, amb el període de temps actual o moment discret en el temps indicat com t, un període anterior indicat com t − 1, un període posterior com t + 1, etc.[3]
La solució d'aquesta equació és una funció de t, i no de cap valor iterat, donant el valor de la iteració en qualsevol moment. Per trobar la solució cal conèixer els valors específics (coneguts com a condicions inicials) de n dels iterats, i normalment aquests són els n iterats més antics. Es diu que l'equació o la seva variable és estable si a partir de qualsevol conjunt de condicions inicials existeix el límit de la variable a mesura que el temps passa a l'infinit; aquest límit s'anomena estat estacionari.
Les equacions de diferència s'utilitzen en diversos contextos, com ara en economia per modelar l'evolució en el temps de variables com el producte interior brut, la taxa d'inflació, el tipus de canvi, etc. S'utilitzen per modelar aquestes sèries de temps perquè els valors d'aquestes variables només es mesuren a intervals discrets. En aplicacions economètriques, les equacions de diferències lineals es modelen amb termes estocàstics en forma de models autoregressius (AR) i en models com ara l'autoregressió vectorial (VAR) i els models de mitjana mòbil autoregressiva (ARMA) que combinen AR amb altres característiques.[4]
Definicions
Una recurrència lineal amb coeficients constants és una equació de la forma següent, escrita en termes de paràmetres a1, ..., an i b :
Si l'equació és homogènia, els coeficients determinen el polinomi característic (també "polinomi auxiliar" o "polinomi acompanyant")
Referències
- ↑ Chiang, Alpha. Fundamental Methods of Mathematical Economics (en anglès). Third. New York: McGraw-Hill, 1984. ISBN 0-07-010813-7.
- ↑ Baumol, William. Economic Dynamics (en anglès). Third. New York: Macmillan, 1970. ISBN 0-02-306660-1.
- ↑ «Linear recurrence relations with constant coefficients» (en anglès). http://www.cs.bsu.edu.+[Consulta: 13 agost 2023].
- ↑ «8.2 Solving Linear Recurrence Relations» (en anglès). http://courses.ics.hawaii.edu.+[Consulta: 13 agost 2023].