Kanonická transformace

V teoretické mechanice v rámci Hamiltonova formalismu se kanonickými transformacemi myslí právě takové transformace, které zachovávají tvar Hamiltonových rovnic. Všechny kanonické transformace tak pouze převádějí mezi ekvivalentními popisy stejného systému a jsou si navzájem fyzikálně rovnocenné. Kanonické transformace proto nehrají roli ve fyzikálním vývoji systému, ale jsou velmi užitečným nástrojem pro hledání co nejjednodušší formy pohybových rovnic a s tím spojených integrálů pohybu.

Obecnou transformací se zde myslí změna parametrizace fázového prostoru. Parametry fázového prostoru jsou zobecněné souřadnice ${\displaystyle q^{i}$ a kanonické hybnosti ${\displaystyle p_{i}$^{[pozn. 1]} Nové proměnné ${\displaystyle Q^{j}$, ${\displaystyle P_{j}$ obecně zavádíme jako funkce předchozích parametrů ${\displaystyle q^{i}$, ${\displaystyle p_{i}$ a času ${\displaystyle t}$. Pro fázový prostor s ${\displaystyle N}$ stupni volnosti máme ${\displaystyle i,j\in 1,\dots ,N}$, fázový prostor tak má celkem ${\displaystyle 2N}$ parametrů, případně ${\displaystyle 2N+1}$, pokud je tvar fázového prostoru závislý na čase.

${\displaystyle Q^{j}=Q^{j}(q^{i},p_{i},t)}$ - nové zobecněné souřadnice

${\displaystyle P_{j}=P_{j}(q^{i},p_{i},t)}$ - nové hybnosti

Mějme staré parametry fázového prostoru ${\displaystyle q^{i}$, ${\displaystyle p_{i}$, které pro nějakou Hamiltonovu funkci (Hamiltonián) ${\displaystyle H}$ splňují Hamiltonovy pohybové rovnice.

${\displaystyle {\dot {q}^{i}={\partial H \over \partial p_{i},{\dot {p}_{i}=-{\partial H \over \partial q^{i}$

Definicí kanonické transformace je, že nové parametry ${\displaystyle Q^{i}$, ${\displaystyle P_{i}$ budou splňovat Hamiltonovy rovnice v téže formě. Musí tak existovat nějaký další (ne nutně různý) Hamiltonián ${\displaystyle H'(Q^{j},P_{j},t)}$, pro který budou platit rovnice

${\displaystyle {\dot {Q}^{i}={\partial H' \over \partial P_{i},{\dot {P}_{i}=-{\partial H' \over \partial Q^{i}.}$

Zároveň musí také existovat bijekce mezi parametrizacemi fázového prostoru ${\displaystyle q^{i}$, ${\displaystyle p_{i}$ a ${\displaystyle Q^{i}$, ${\displaystyle P_{i}$, protože právě jednomu stavu systému je třeba přiřadit právě jednu ${\displaystyle 2N}$tici parametrů.

Více různých Hamiltoniánů může vést na stejné rovnice pohybu. Tato volnost v určení Hamiltoniánu se nazývá kalibrační volnost a přímo plyne z Lagrangeovy formulace mechaniky. Hamiltoniány, které vedou na stejné rovnice pohybu můžeme z fyzikálního hlediska považovat za rovnocenné. Volnost Hamiltonovy funkce pro určitý fyzikální systém přesně odpovídá kanonickým transformacím. Kalibrační volnost lze vyjádřit stručnou rovnicí

${\displaystyle H'=H+{\frac {dF_{a}{dt}.}$

Rovnice tvrdí, že dva libovolné rovnocenné Hamiltoniány se navzájem liší právě o totální derivaci nějaké funkce ${\displaystyle F_{a}$ vzhledem k času. Funkci ${\displaystyle F_{a}$ nazýváme vytvořující funkce (synonymem je generující funkce)^{[pozn. 2]}.

Generujícící funkce obecně závisí jak na starých tak i na nových proměnných. Celkem existují 4 různé kombinace a tedy 4 druhy vytvořujících funkcí ${\displaystyle F_{a}~~a\in 1,\dots ,4}$.

${\displaystyle F_{1}=F_{1}(q^{i},Q^{j},t)}$

${\displaystyle F_{2}=F_{2}(q^{i},P_{j},t)}$

${\displaystyle F_{3}=F_{3}(p_{i},Q^{j},t)}$

${\displaystyle F_{4}=F_{4}(p_{i},P_{j},t)}$

Každé kanonické transformaci tak mohou příslušet až 4 vytvořující funkce. Ne vždy ale existují všechny. V degenerovaných případech jich může být i méně. Například pro triviální transformaci existují pouze 2 funkce a to ${\displaystyle F_{2}(q^{i},P_{j},t)}$ a ${\displaystyle F_{3}(p_{i},Q^{j},t)}$.

Ne každá funkce může být vytvořující funkcí pro kanonickou transformaci v Hamiltonově formalismu. Vytvořující funkce mají původ v kalibrační volnosti Lagrangeovy funkce, jejíž Legendreovou transformací dostáváme Hamiltonovu funkci. V transformaci se ale vyskytnou podmínky, které musí vytvořující funkce splňovat, aby vzniklý Hamiltonián měl zmíněnou volnost ${\displaystyle H'=H+{\frac {dF_{a}{dt}$. Tyto podmínky jsou shrnuty v následující tabulce. Každá funkce, která je dostatečně hladká (její derivace existují) a splňuje následující podmínky, dává vzniknout kanonické transformaci.

Podmínky kanoničnosti transformace pro vytvořující funkce

Druh vytvořující funkce	Podmínky kanoničnosti
${\displaystyle F_{1}(q^{i},Q^{j},t)}$	${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{1}{\partial q^{i}$	${\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial F_{1}{\partial Q^{i}$
${\displaystyle F_{2}(q^{i},P_{j},t)}$	${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{2}{\partial q^{i}$	${\displaystyle Q^{i}={\frac {\partial F_{2}{\partial P_{i}$
${\displaystyle F_{3}(p_{i},Q^{j},t)}$	${\displaystyle q^{i}=-{\frac {\partial F_{3}{\partial p_{i}$	${\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial F_{3}{\partial Q^{i}$
${\displaystyle F_{4}(p_{i},P_{j},t)}$	${\displaystyle q^{i}=-{\frac {\partial F_{4}{\partial p_{i}$	${\displaystyle Q^{i}={\frac {\partial F_{4}{\partial P_{i}$

Poissonova závorka dvou funkcí ${\displaystyle f,g}$ s parametry fázového prostoru ${\displaystyle q^{i},p_{i}$ je definována jako:

${\displaystyle \{f,g\}=\{f,g\}_{q,p}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q^{i}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}\right]}$.

Pro kanonické souřadnice a hybnosti ${\displaystyle q^{i},p_{i}$ platí fundamentální relace

${\displaystyle \{q^{i},q^{j}\}_{q,p}=0,\{p_{i},p_{j}\}_{q,p}=0,\{q^{i},p_{j}\}_{q,p}=\delta _{j}^{i}~~\forall i,j\in 1,\dots N}$.

Nejvíce přímočarý způsob pro určení kanoničnosti transformace je spočítat fundamentální Poissonovy závorky nových zobecněných souřadnic ${\displaystyle Q^{j}$ a ${\displaystyle P_{j}$. Platí, že transformace je kanonická právě když všechny fundamentální relace jsou splněny i pro nové proměnné. Máme tak nutnou a zároveň dostačující podmínku zapsanou do následujících rovnic

${\displaystyle \{Q^{i},Q^{j}\}_{q,p}=0,\{P_{i},P_{j}\}_{q,p}=0,\{Q^{i},P_{j}\}_{q,p}=\delta _{j}^{i}~~\forall i,j\in 1,\dots N}$

Naštěstí antisymetrie Poissonovy závorky počet rovnic redukuje. Vztahy ${\displaystyle \{Q^{i},Q^{j}\}_{q,p}=0,\{P_{i},P_{j}\}_{q,p}=0}$ platí pro dvojici indexů ${\displaystyle (i,j)}$, právě když platí pro ${\displaystyle (j,i)}$. Navíc nám antisymetrie závorky identicky splňuje rovnosti ${\displaystyle \{Q^{i},Q^{i}\}_{q,p}=0,\{P_{i},P_{i}\}_{q,p}=0~~\forall i\in 1,\dots ,N}$, tyto rovnosti tak ani nemusíme ověřovat.

Pro zbylé rovnosti je třeba, aby platily všechny naráz a obecně ani jednu z nich nesmíme vynechat. Pro ověření kanoničnosti transformace je tak třeba spočítat nejvýše ${\displaystyle 2N^{2}-N}$ závorek. Ve většině případů je ale porušeno více rovností naráz. Pokud je nalezena jediná fundamentální relace, která není splněna, není třeba v postupu pokračovat a transformace automaticky není kanonická.

Binární operace v této grupě je skládání transformací. Pro splnění definice grupy je třeba splnit 4 požadavky:

• binární operace je asociativní - skládání transformací to splňuje
• množina je uzavřena nad touto binární operací - to plyne z faktu, že složením dvou kanonických transformací dostáváme opět kanonickou transformaci (plyne z ověřování pomocí Poissonových závorek)
• existuje neutrální prvek - tím je triviální transformace ${\displaystyle Q^{i}=q^{i},P_{i}=p_{i}~~\forall i\in 1,\dots ,N}$
• existuje inverzní prvek - kanonická transformace je bijekce, proto vždy existuje inverzní transformace

To znamená, že Poissonova závorka libovolných funkcí f, g dá stejný výsledek, když k výpočtu použijeme proměnné fázového prostoru, které jsou navzájem spojeny kanonickou transformací (třeba dvojice ${\displaystyle q^{i},p_{j}$ a ${\displaystyle Q^{i},P_{j}$). Obecně tak platí vztah

${\displaystyle \{f,g\}_{p,q}=\{f,g\}_{P,Q}$.

Tato vlastnost implikuje Liouvilleův teorém. Pokud si vyznačíme objem libovolného tvaru ve fázovém prostoru, kanonická transformace obecně může změnit jeho tvar, ale objem se nezmění. Tato vlastnost nám tedy říká, že vývoj ve fázovém prostoru lze chápat jako tok nestlačitelné kapaliny. Tato kapalina se nazývá fázová kapalina. Ve speciálním případě lineárních transformací vlastnost znamená, že determinant matice kanonické transformace je +1.

Pomocí kanonických transformací a jejich vytvořujících funkcí je možno z Hamiltonovského formalismu odvodit Hamiltonovu-Jacobiho rovnici.

Kanonické transformace mohou významně měnit tvar pohybových rovnic a v mnoha případech tak usnadňovat hledání skrytých symetrií systému, které implikují nové integrály pohybu. Tímto způsobem byl nalezen jeden z invariantů pohybu v poli Kerrovy černé díry. Tento invariant se nazývá Carterova konstanta a zachovává se i v obecnějším poli rotující nabité černé díry.

• PODOLSKÝ, Jiří. Teoretická mechanika ve třech knihách. 1. vyd. [s.l.]: Matfyzpress, 2024. 432 s. ISBN 978-80-7378-499-7. 
• BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. [s.l.]: Academia, 1987. 581 s. 

• zobecněné souřadnice
• Poissonovy závorky
• Liouvilleův teorém

• [1] – hlavní stránka Ústavu teoretické fyziky MFF UK