Laplaceova transformace

Laplaceova transformace v matematice označuje jednu ze základních integrálních transformací. Používá se k řešení některých obyčejných diferenciálních rovnic,^[1] zejména těch, jež se objevují při analýze chování elektrických obvodů, harmonických oscilátorů a optických zařízení. V technice se s ní setkáme při studiu vlastností systémů spojitě pracujících v čase, kde je protějškem Z-transformace pro diskrétní systémy.

Užitečnost Laplaceovy transformace spočívá v tom, že převádí funkce reálné proměnné na funkce komplexní proměnné způsobem, při němž se mnohé složité vztahy mezi původními funkcemi radikálně zjednoduší.

Laplaceovu transformaci odvodil roku 1812 francouzský matematik Pierre-Simon de Laplace. Již dříve (1737) však tuto transformaci použil Leonhard Euler při řešení jistých obyčejných diferenciálních rovnic.

Nechť je funkce ${\displaystyle f(t)}$ spojitá (nebo alespoň po částech spojitá) a definovaná na intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$. Pak Laplaceova transformace ${\displaystyle L\{f(t)\}$ funkce ${\displaystyle f(t)}$ je definována integrálním vztahem:

${\displaystyle L\{f(t)\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$,

kde ${\displaystyle s}$ je komplexní nezávisle proměnná. Obraz funkce ${\displaystyle f(t)}$ při Laplaceově transformaci je funkce jedné komplexní proměnné ${\displaystyle s}$, často ji značíme ${\displaystyle F(s)}$. Definičním oborem ${\displaystyle F}$ je oblast konvergence integrálu (viz níže).

Funkci ${\displaystyle f(t)}$ nazýváme originálem a funkci ${\displaystyle F(s)}$ obrazem funkce ${\displaystyle f(t)}$.

Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem:

${\displaystyle L^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)e^{st}\,ds={\frac {1}{2\pi i}\int _{\{c+iu;\,u\in \mathbb {R} \}F(s)e^{st}\,ds}$,

kde ${\displaystyle c}$ je libovolné reálné číslo ležící v oblasti konvergence ${\displaystyle F}$ (pak celá přímka ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=c}$, přes niž se integruje, leží v oblasti konvergence (viz níže)).

I v případě, že funkce ${\displaystyle f(t)}$ je na celém intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$ spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má mít definiční integrál konečnou hodnotu, musí ${\displaystyle f(t)}$ splňovat kritérium konvergence

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }|f(t)|e^{-st}=0}$.

Například funkce ${\displaystyle f(t)=e^{t^{2}$ tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje.

Pro danou funkci ${\displaystyle f}$ se množina hodnot ${\displaystyle s}$, pro něž integrál v Laplaceově transformaci konverguje, nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle s_{0}$, pak konverguje v každém bodě ${\displaystyle s}$, pro který ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})}$. Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy ${\displaystyle \{s;\operatorname {Re} (s)>R\}$, kde ${\displaystyle R}$ je dáno chováním funkce ${\displaystyle f(t)}$ pro ${\displaystyle t\to \infty }$.

Pro každou funkci ${\displaystyle f}$ takovou, že ${\displaystyle L\{f\}$ existuje, platí pro skoro všechna ${\displaystyle t}$ (Lerchova věta):

${\displaystyle f(t)=L^{-1}\{L\{f(t)\}\}\,}$

Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:

${\displaystyle L\{f^{(n)}\}=s^{n}L\{f\}-s^{n-1}f(0_{+})-\cdots -sf^{(n-2)}(0_{+})-f^{(n-1)}(0_{+})\,}$

Vzorec lze odvodit pomocí integrace per partes a platí právě tehdy, když jednotlivé derivace existují. Tento vztah umožňuje přímé začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.

Pro dané funkce ${\displaystyle f(t)}$ a ${\displaystyle g(t)}$, a jejich příslušné Laplaceovy transformace ${\displaystyle F(s)}$ a ${\displaystyle G(s)}$ následující tabulka shrnuje vlastnosti Laplaceovy transformace:

Vlastnosti jednostranné Laplaceovy transformace

	Vzor	Obraz	Komentář
Linearita	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	Obrazem lineární kombinace vzorů je lineární kombinace obrazů s týmiž koeficienty. Odvodit lze na základě definičního vztahu. Této vlastnosti se využívá při odvozování goniometrických a hyperbolických funkcí.
Derivování podle parametru	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$
Derivování originálu	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0_{+})\ }$	Získá se z integrování per partes. Odčítá se limita funkce zprava v počátku (počáteční podmínka).
Integrování originálu	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	${\displaystyle u(t)}$ je Heavisideova funkce.
Podobnost	${\displaystyle f(at)\ }$	${\displaystyle {1 \over a}F\left({s \over a}\right)}$	${\displaystyle a>0}$
Tlumení	${\displaystyle e^{at}f(t)\ }$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
Konvoluce	${\displaystyle (f*g)(t)\ }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
Posunutí (věta o translaci)	${\displaystyle f(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$	Posunutí proměnné ${\displaystyle t}$ v originále o konstantu ${\displaystyle a>0}$ se projeví vynásobením obrazu výrazem ${\displaystyle e^{-as}\ }$

• Integrální transformace
• Fourierova transformace
• Z-transformace

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Laplaceova transformace na Wikimedia Commons
• Laplaceova transformace v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Učební text z FEL ČVUT o Laplaceově transformaci, Nováková,Hyánková,Průcha Archivováno 2. 10. 2006 na Wayback Machine.

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.