Model (logika)

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly ${\displaystyle c_{\alpha };\alpha \in I_{K}$, funkční symboly ${\displaystyle \,f_{\alpha }$ četností ${\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{F}$ a predikátové symboly ${\displaystyle \,p_{\alpha }$ četností ${\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{P}$, je množina ${\displaystyle A}$ nazývaná nosič struktury spolu s konstantami ${\displaystyle C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_{K}$, funkcemi ${\displaystyle F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }\rightarrow A;\alpha \in I_{F}$ a relacemi ${\displaystyle P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha };\alpha \in I_{P}$. Konstanta ${\displaystyle \,C_{\alpha }$, resp. funkce ${\displaystyle \,F_{\alpha }$, resp. relace ${\displaystyle \,P_{\alpha }$ se nazývá realizací konstantního symbolu ${\displaystyle \,c_{\alpha }$, resp. funkčního symbolu ${\displaystyle \,f_{\alpha }$, resp. predikátového symbolu ${\displaystyle \,p_{\alpha }$ v modelu ${\displaystyle A}$ a značí se ${\displaystyle \,c_{\alpha }^{A}$, resp. ${\displaystyle \,f_{\alpha }^{A}$, resp. ${\displaystyle \,p_{\alpha }^{A}$. Struktura s nosičem ${\displaystyle A}$ (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí ${\displaystyle {\mathcal {A}$.

Méně formálně: Jazyk L obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka L přidává množinu ${\displaystyle A}$ (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka L jejich realizace.

V tomto odstavci značí ${\displaystyle {\mathcal {A}$ model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu ${\displaystyle {\mathcal {A}$ je každá funkce ${\displaystyle e}$ z množiny všech proměnných do nosiče ${\displaystyle A}$. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením ${\displaystyle e}$ na všech proměnných kromě ${\displaystyle x}$ a na ${\displaystyle x}$ má hodnotu ${\displaystyle a}$, značíme ${\displaystyle e(x/a)}$.

Realizace termu ${\displaystyle t}$ jazyka L při ohodnocení proměnných ${\displaystyle e}$ v modelu ${\displaystyle A}$, značíme ${\displaystyle \,t^{A}\langle e\rangle }$, se definuje indukcí dle složitosti takto:

• ${\displaystyle \,t^{A}\langle e\rangle =e(x)}$, je-li ${\displaystyle t}$ proměnná ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \,t^{A}\langle e\rangle =c_{\alpha }^{A}$, je-li ${\displaystyle t}$ konstantní symbol ${\displaystyle \,c_{\alpha }$
• ${\displaystyle t^{A}\langle e\rangle =f_{\alpha }^{A}(t_{0}^{A}\langle e\rangle ,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}\langle e\rangle )}$, je-li ${\displaystyle t=f_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})}$ a ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}$ jsou termy

Platnost formule ${\displaystyle \,\varphi }$ jazyka L při ohodnocení proměnných ${\displaystyle e}$ v modelu ${\displaystyle {\mathcal {A}$ definujeme indukcí dle složitosti takto (${\displaystyle \,\varphi }$ platí v ${\displaystyle {\mathcal {A}$ při ohodnocení ${\displaystyle e}$ značíme ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \varphi \langle e\rangle }$, ${\displaystyle \,\varphi }$ neplatí v ${\displaystyle {\mathcal {A}$ při ohodnocení ${\displaystyle e}$ značíme ${\displaystyle {\mathcal {A}\not \models \varphi \langle e\rangle }$):

• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ atomická formule tvaru ${\displaystyle p_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})}$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \varphi \langle e\rangle }$, pokud ${\displaystyle (t_{0}^{A}\langle e\rangle ,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}\langle e\rangle )\in p_{\alpha }^{A}$.
• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ atomická formule tvaru ${\displaystyle \,t_{0}=t_{1}$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \varphi \langle e\rangle }$, pokud ${\displaystyle t_{0}^{A}\langle e\rangle =t_{1}^{A}\langle e\rangle }$.
• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ formule tvaru ${\displaystyle \neg \psi }$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \varphi \langle e\rangle }$ pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}\not \models \psi \langle e\rangle }$
• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ formule tvaru ${\displaystyle \psi \Rightarrow \chi }$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \varphi \langle e\rangle }$ pokud buďto ${\displaystyle {\mathcal {A}\not \models \psi \langle e\rangle }$ nebo ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \chi \langle e\rangle }$.
• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ formule tvaru ${\displaystyle (\forall x)\psi }$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \varphi \langle e\rangle }$, pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \psi \langle e(x/a)\rangle }$ pro všechna ${\displaystyle a\in A}$.

Říkáme, že ${\displaystyle \,\varphi }$ platí v modelu ${\displaystyle {\mathcal {A}$, značíme ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \varphi }$, pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \varphi \langle e\rangle }$ pro každé ohodnocení proměnných ${\displaystyle e}$.

Je-li T teorie v jazyce L a ${\displaystyle {\mathcal {A}$ struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že ${\displaystyle {\mathcal {A}$ je modelem T, značíme ${\displaystyle {\mathcal {A}\models T}$, pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}\models \varphi }$ pro každý axiom ${\displaystyle \,\varphi }$ teorie T.

• Množina přirozených čísel spolu s konstantou ${\displaystyle \,0}$, binární relací ${\displaystyle \,\leq }$ a funkcemi ${\displaystyle \,+}$, ${\displaystyle \,\cdot }$ a ${\displaystyle \,S}$ (${\displaystyle \,S(n)=n+1}$) tvoří model Peanovy aritmetiky. Tento model se nazývá standardní model.
• Libovolná grupa je modelem axiomatické teorie grup.

Izomorfismem modelů (struktur) ${\displaystyle {\mathcal {A},\,{\mathcal {B}$ téhož jazyka L je taková bijekce ${\displaystyle i:A\rightarrow B}$, která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

• ${\displaystyle \,i(c^{A})=c^{B}$ pro každý konstantní symbol c jazyka L
• ${\displaystyle i(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))}$ pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
• ${\displaystyle p^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n})\Leftrightarrow p^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))}$

Existuje-li izomorfismus modelů ${\displaystyle {\mathcal {A},\,{\mathcal {B}$, říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

• Vnitřní model
• Teorie modelů
• Morleyova věta o kategoričnosti
• Vaughtova věta
• Löwenheim-Skolemova věta