Stokesova věta [1] je věta diferenciální geometrie , která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes hladkou orientovanou plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty . Naopak speciálním případem Stokesovy věty v rovině je Greenova věta . Autorem Stokesovy věty je irský fyzik Georg Stokes .
Znění věty
Ilustrace Stokesovy věty s plochou S =Σ orientovanou normálou n a její hranicí C =∂Σ , tj. orientovanou křivkou.
Je-li
F
(
x
,
y
,
z
)
=
[
F
x
(
x
,
y
,
z
)
,
F
y
(
x
,
y
,
z
)
,
F
z
(
x
,
y
,
z
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=[F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z)]}
vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na otevřené jednoduše souvislé po částech hladké kladně orientované ploše
S
{\displaystyle S}
ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou
C
{\displaystyle C}
, pak platí:
∮
C
F
⋅
d
r
=
∬
S
(
∇
×
F
)
⋅
n
d
S
=
{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\iint _{S}\left({\nabla \times \mathbf {F} }\right)\cdot \mathbf {n} \ \mathrm {d} S=}
=
∬
S
(
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
)
d
y
d
z
+
(
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
)
d
z
d
x
+
(
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
)
d
x
d
y
=
{\displaystyle =\iint _{S}({\frac {\partial F_{z}{\partial y}-{\frac {\partial F_{y}{\partial z})\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z+({\frac {\partial F_{x}{\partial z}-{\frac {\partial F_{z}{\partial x})\ \mathrm {d} z\ \mathrm {d} x+({\frac {\partial F_{y}{\partial x}-{\frac {\partial F_{x}{\partial y})\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y=}
=
∮
C
(
F
x
d
x
+
F
y
d
y
+
F
z
d
z
)
{\displaystyle =\oint _{C}(F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z)}
,
kde
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
je rotace vektorového pole
F
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}
, kde
d
r
=
[
d
x
,
d
y
,
d
z
]
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =[dx,dy,dz]}
, vyjádřená pomocí operátoru nabla a křivka
C
{\displaystyle C}
je orientována tak, že při obíhání po této křivce v kladném smyslu je plocha
S
{\displaystyle S}
vždy po levé straně.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Stokes' theorem na anglické Wikipedii.
↑ STEWART, James. Calculus – Early Transcendentals . 7th. vyd. [s.l.]: Brooks/Cole Cengage Learning, 2012. ISBN 978-0-538-49790-9 . S. 1122. Je zde použita šablona {Cite book }
označená jako k „pouze dočasnému použití“.
Související články
Externí odkazy
Integrální věty vektorového počtu