Mes’chi, die auf der WTA Tour jeweils fünf Einzel- und Doppeltitel gewann, erreichte am 5. August 1991 mit Position 12 der WTA-Weltrangliste die beste Platzierung ihrer Profikarriere. Für das Vereinte Team gewann sie bei den Olympischen Spielen 1992 mit Natallja Swerawa als Partnerin die Bronzemedaille im Doppel. 1994 bestritt sie für die georgische Fed-Cup-Mannschaft sechs Partien, von denen sie fünf gewann. Ihre fünf Fed-Cup-Partien für das sowjetische Team hatte sie allesamt verloren.
↑Leila Meskhi - die erste professionelle Tennisspielerin in Georgia. In: leilameskhitennisacademy.ge. Ehemals im Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 26. März 2020 (ge).@1@2Vorlage:Toter Link/leilameskhitennisacademy.ge (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven)