Wiener-Wurst
Die Wiener-Wurst bezeichnet in der Mathematik einen stochastischen Prozess , der eine
ε
{\displaystyle \varepsilon }
-Umgebung der brownschen Bewegung bzw. des Wienerprozesses ist.[1]
Die Wiener-Wurst ist nach Norbert Wiener benannt.
Wiener-Wurst
Sei
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}
ein
d
{\displaystyle d}
-dimensionaler Standard-Wienerprozess. Die Wiener-Wurst ist der durch den Radius
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
und die
ε
{\displaystyle \varepsilon }
-Umgebung
U
ε
{\displaystyle U_{\varepsilon }
induzierte Prozess
W
(
ε
)
(
t
)
=
⋃
s
≤
t
U
ε
(
B
s
)
.
{\displaystyle W^{(\varepsilon )}(t)=\bigcup \limits _{s\leq t}U_{\varepsilon }(B_{s}).}
Resultate
Volumen der Wiener-Wurst
Sei
V
(
t
,
ε
)
{\displaystyle V(t,\varepsilon )}
das Lebesgue-Maß der Wiener-Wurst, dann gilt
lim
t
→
∞
t
−
d
/
(
2
+
d
)
log
E
[
e
−
ν
V
(
t
,
ε
)
]
=
−
k
(
d
)
ν
2
/
(
2
+
d
)
,
{\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }t^{-d/(2+d)}\log \mathbb {E} \left[e^{-\nu V(t,\varepsilon )}\right]=-k(d)\nu ^{2/(2+d)},}
wobei
k
(
d
)
=
d
+
2
d
(
2
λ
d
d
)
d
/
(
d
+
2
)
ω
d
2
/
(
2
+
d
)
{\displaystyle k(d)={\frac {d+2}{d}\left({\frac {2\lambda _{d}{d}\right)^{d/(d+2)}\omega _{d}^{2/(2+d)}
unabhängig von
ε
{\displaystyle \varepsilon }
und
ν
{\displaystyle \nu }
ist.
λ
d
{\displaystyle \lambda _{d}
bezeichnet den kleinsten Eigenwert des Dirichletproblems
Δ
1
2
{\displaystyle \Delta {\tfrac {1}{2}
auf dem Einheitsball in
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}
(
Δ
{\displaystyle \Delta }
ist der Laplace-Operator ) und
ω
d
{\displaystyle \omega _{d}
ist das Volumen des
d
{\displaystyle d}
-dimensionalen Einheitsballes. Das Resultat wurde von Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan mit Hilfe der Variationsrechnung hergeleitet.[2]
Einzelnachweise
↑ Erwin Bolthausen : On the Volume of the Wiener Sausage . In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability . Band 18 , Nr. 4 , 1989, S. 1576–1582 , doi :10.1214/aop/1176990633 .
↑ Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan : Asymptotics for the wiener sausage . In: Communications on Pure and Applied Mathematics . Band 28 , Nr. 4 , 1975, S. 525–565 , doi :10.1002/cpa.3160280406 .
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