Ένα προς ένα

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ μεταξύ δύο συνόλων ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ονομάζεται ένα προς ένα (1-1) ή ερριπτική^[1] ή αμφιμονότιμη, αν ισχύει ότι: αν ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ τότε είναι ${\displaystyle x=y}$, για κάθε ${\displaystyle x,y}$ στο ${\displaystyle A}$. Ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής: Αν ${\displaystyle x\neq y}$ τότε ${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$, για κάθε ${\displaystyle x,y}$ στο ${\displaystyle A}$.^[2]:4

Μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα ${\displaystyle \Delta }$, τότε είναι "1-1" σε αυτό.

Συμβολικά, μία συνάρτηση ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ονομάζεται ένας-προς-ένα αν ικανοποιεί

${\displaystyle \forall x,y\in A.\ f(x)=f(y)\Rightarrow x=y,}$

το οποίο είναι λογικά ισοδύναμο με

${\displaystyle \forall x,y\in A.\ x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).}$

Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα συναρτήσεων που είναι ένα-προς-ένα και κάποιων που δεν είναι. Κάποιες ένα-προς-ένα συναρτήσεις, με την ίδια φόρμουλα αλλά ορισμένες σε διαφορετικά πεδία ορισμού μπορεί να μην είναι πλέον ένα-προς-ένα.

• Η συνάρτηση ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ με ${\displaystyle f(x)=x+1}$, είναι ένα-προς-ένα.
• Η συνάρτηση ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ με ${\displaystyle f(x)=x^{2}$, είναι ένα-προς-ένα. Ενώ, η συνάρτηση ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ με ${\displaystyle g(x)=x^{2}$ δεν είναι, καθώς ${\displaystyle g(3)=g(-3)=9}$.
• Η συνάρτηση ${\displaystyle f:[-1,\infty )\to \mathbb {R} }$ με ${\displaystyle f(x)=|x+1|}$, είναι ένα-προς-ένα. Ενώ, η συνάρτηση ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ με ${\displaystyle g(x)=|x+1|}$ δεν είναι, καθώς ${\displaystyle |2+1|=|(-4)+1|=3}$.
• H συνάρτηση προσήμου ${\displaystyle \mathrm {sgn} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ δεν είναι ένα-προς-ένα, αλλά η συνάρτηση ${\displaystyle s:\{-1,0,1\}\to \{-1,0,1\}$ με ${\displaystyle s(x)=x}$ είναι.
• Η ταυτοτική συνάρτηση είναι ένα-προς-ένα.
• Η γραμμική συνάρτηση ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ με ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ (για κάθε ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ και ${\displaystyle a\neq 0}$) είναι ένα-προς-ένα.

• Κάθε γνησίως μονότονη πραγματική συνάρτηση ${\displaystyle f:\Delta \to \mathbb {R} }$ για ${\displaystyle \Delta \subseteq \mathbb {R} }$ είναι ένα-προς-ένα.

• Η σύνθεση δύο ένα-προς-ένα συναρτήσεων ${\displaystyle f:A\to B}$ και ${\displaystyle g:B\to C}$, είναι ένα-προς-ένα.^[3]

• Συνάρτηση
• Επί