Βαθμός πολυωνύμου

Έστω

${\displaystyle p_{1}(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}$ και ${\displaystyle p_{2}(x)=\sum _{I=1}^{m}b_{i}x^{i}$,

όπου ${\displaystyle n=\operatorname {deg} (p_{1})}$ και ${\displaystyle m=\operatorname {deg} (p_{2})}$. Τότε, το άθροισμα γράφεται ως

${\displaystyle p_{1}(x)+p_{2}(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=1}^{m}b_{i}x^{i}=\sum _{I=1}^{\max(n,m)}(a_{i}+b_{i})x^{i}$.

Επομένως ο βαθμός του πολυωνύμου είναι το πολύ ${\displaystyle \max(n,m)}$.

Ο λόγος ότι δεν ισχύει η ισότητα είναι ότι για παράδειγμα το άθροισμα των πολυωνύμων:

${\displaystyle p_{1}(x)=6x^{4}+3x^{2}-2}$, και

${\displaystyle p_{2}(x)=-6x^{4}-3x^{2}+6}$

είναι

${\displaystyle p_{1}(x)+p_{2}(x)=4}$,

δηλαδή το πολυώνυμο έχει βαθμό ${\displaystyle 0}$.

Έστω

${\displaystyle p_{1}(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}$ και ${\displaystyle p_{2}(x)=\sum _{i=1}^{m}b_{i}x^{i}$,

όπου ${\displaystyle n=\operatorname {deg} (p_{1})}$ και ${\displaystyle m=\operatorname {deg} (p_{2})}$. Τότε, το γινόμενο γράφεται ως

${\displaystyle p_{1}(x)\cdot p_{2}(x)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{m}b_{i}x^{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{i}b_{j}x^{i+j}$.

Επομένως ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ${\displaystyle n\cdot m}$.

Έστω

${\displaystyle p_{1}(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}$ και ${\displaystyle p_{2}(x)=\sum _{i=1}^{m}b_{i}x^{i}$,

όπου ${\displaystyle n=\operatorname {deg} (p_{1})}$ και ${\displaystyle m=\operatorname {deg} (p_{2})}$. Τότε, η σύνθεση γράφεται ως

${\displaystyle (p_{1}\circ p_{2})(x)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\left(\sum _{i=j}^{m}b_{i}x^{j}\right)^{i}\right)}$.

Επομένως ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ${\displaystyle n\cdot m}$, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.