Περιστροφή του σημείου
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
.
Στη γραμμική άλγεβρα ο πίνακας περιστροφής είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην γραμμική απεικόνιση της περιστροφής ενός σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων. Στις δύο διαστάσεις για γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
, ο πίνακας της περιστροφής είναι ίσος με[1] :280 [2] :112 [3] :60-61
R
(
θ
)
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
{\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}
,
όπου
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta }
είναι το ημίτονο και
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
το συνημίτονο της γωνίας
θ
{\displaystyle \theta }
.
Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνται στα γραφικά υπολογιστών ,[1] : 282 [4] την ρομποτική ,[5] :1-2 την μηχανική και σε άλλες επιστήμες.
Στις δύο διαστάσεις
Τύπος
Περιστροφή του σημείου
p
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathbf {p} =(x,y)}
αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
, ώστε να πάρουμε το
p
′
=
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle \mathbf {p} '=(x',y')}
. Η γωνία
ϕ
{\displaystyle \phi }
είναι η γωνία του
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
με την αρχή των αξόνων και
ℓ
{\displaystyle \ell }
είναι το μήκος του
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
(και του
p
′
{\displaystyle \mathbf {p} '}
).
Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
αριστερόστροφα γύρω από την αρχή των αξόνων δίνεται ως εξής
R
(
θ
)
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
.
{\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}.}
Απόδειξη
Θεωρούμε ένα σημείο
p
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathbf {p} =(x,y)}
στο επίπεδο. Έστω
ℓ
=
|
p
|
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle \ell =|\mathbf {p} |=\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}
η απόσταση του από την αρχή των αξόνων και
ϕ
{\displaystyle \phi }
η γωνία μεταξύ του
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
και του άξονα xx'. Τότε
x
=
ℓ
⋅
cos
ϕ
{\displaystyle x=\ell \cdot \cos \phi }
και
y
=
ℓ
⋅
sin
ϕ
{\displaystyle y=\ell \cdot \sin \phi }
.
Έστω
p
′
=
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle \mathbf {p} '=(x',y')}
το σημείο
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
περιεστρεμμένο κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
αριστερόστροφα της αρχής των αξόνων. Τότε η γωνία του
p
′
{\displaystyle \mathbf {p} '}
με τον xx' είναι
ϕ
+
θ
{\displaystyle \phi +\theta }
και το μήκος του είναι
|
p
′
|
=
|
p
|
=
ℓ
{\displaystyle |\mathbf {p} '|=|\mathbf {p} |=\ell }
. Επομένως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το άθροισμα γωνιών, ισχύει ότι
x
′
=
ℓ
⋅
cos
(
ϕ
+
θ
)
=
ℓ
⋅
cos
ϕ
cos
θ
−
ℓ
⋅
sin
ϕ
sin
θ
=
(
ℓ
⋅
cos
ϕ
)
cos
θ
−
(
ℓ
⋅
sin
ϕ
)
sin
θ
=
x
⋅
cos
θ
−
y
⋅
sin
θ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\ell \cdot \cos(\phi +\theta )\\&=\ell \cdot \cos \phi \cos \theta -\ell \cdot \sin \phi \sin \theta \\&=(\ell \cdot \cos \phi )\cos \theta -(\ell \cdot \sin \phi )\sin \theta \\&=x\cdot \cos \theta -y\cdot \sin \theta ,\end{aligned}
και
y
′
=
ℓ
⋅
sin
(
ϕ
+
θ
)
=
ℓ
⋅
sin
ϕ
cos
θ
+
ℓ
⋅
cos
ϕ
sin
θ
=
(
ℓ
⋅
sin
ϕ
)
cos
θ
+
(
ℓ
⋅
cos
ϕ
)
sin
θ
=
y
⋅
cos
θ
+
x
⋅
sin
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y'&=\ell \cdot \sin(\phi +\theta )\\&=\ell \cdot \sin \phi \cos \theta +\ell \cdot \cos \phi \sin \theta \\&=(\ell \cdot \sin \phi )\cos \theta +(\ell \cdot \cos \phi )\sin \theta \\&=y\cdot \cos \theta +x\cdot \sin \theta .\end{aligned}
Συνεπώς, ισχύει ότι
p
′
=
[
x
′
y
′
]
=
[
x
⋅
cos
θ
−
y
⋅
sin
θ
x
⋅
sin
θ
+
y
⋅
cos
θ
]
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
⋅
[
x
y
]
=
R
(
θ
)
⋅
p
.
{\displaystyle \mathbf {p} '={\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}x\cdot \cos \theta -y\cdot \sin \theta \\x\cdot \sin \theta +y\cdot \cos \theta \end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=R(\theta )\cdot \mathbf {p} .}
Παραδείγματα
Περιστροφή του
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
μας δίνει το σημείο
(
cos
θ
,
sin
θ
)
{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}
, που είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου . Αυτό δίνεται και από τον τύπο
R
(
θ
)
⋅
[
1
0
]
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
⋅
[
1
0
]
=
[
cos
θ
sin
θ
]
.
{\displaystyle R(\theta )\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{bmatrix}.}
Η περιστροφή κατά
90
o
{\displaystyle 90^{o}
αντιστοιχεί στην
R
(
90
o
)
⋅
[
x
y
]
=
[
cos
(
90
o
)
−
sin
(
90
o
)
sin
(
90
o
)
cos
(
90
o
)
]
⋅
[
x
y
]
=
[
0
−
1
1
0
]
⋅
[
x
y
]
=
[
−
y
x
]
.
{\displaystyle R(90^{o})\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\cos(90^{o})&-\sin(90^{o})\\\sin(90^{o})&\cos(90^{o})\end{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}-y\\x\end{bmatrix}.}
Η περιστροφή του σημείου
(
0.3
,
1.1
)
{\displaystyle (0.3,1.1)}
κατά γωνία
53
o
{\displaystyle 53^{o}
δίνεται από τον τύπο
R
(
53
o
)
⋅
[
0.3
1.1
]
=
[
cos
(
53
o
)
−
sin
(
53
o
)
sin
(
53
o
)
cos
(
53
o
)
]
⋅
[
0.3
1.1
]
=
[
0.601..
−
0.798..
0.798..
0.601..
]
⋅
[
0.3
1.1
]
=
[
0.601..
⋅
0.3
−
0.798..
⋅
1.1
0.798..
⋅
0.3
+
0.601..
⋅
1.1
]
=
[
−
0.69..
−
0.90..
]
{\displaystyle R(53^{o})\cdot {\begin{bmatrix}0.3\\1.1\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\cos(53^{o})&-\sin(53^{o})\\\sin(53^{o})&\cos(53^{o})\end{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}0.3\\1.1\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}0.601..&-0.798..\\0.798..&0.601..\end{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}0.3\\1.1\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}0.601..\cdot 0.3-0.798..\cdot 1.1\\0.798..\cdot 0.3+0.601..\cdot 1.1\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}-0.69..\\{\phantom {-}0.90..\end{bmatrix}
.
Παραδείγματα περιστροφών ως προς την αρχή των αξόνων
Περιστροφή του
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
.
Περιστροφή κατά
90
o
{\displaystyle 90^{o}
.
Γενικό παράδειγμα περιστροφής.
Ιδιότητες
Ο πίνακας
R
(
θ
)
{\displaystyle R(\theta )}
είναι αντιστρέψιμος , με αντίστροφο τον
R
(
−
θ
)
{\displaystyle R(-\theta )}
. Αυτό προκύπτει και από την γεωμετρική ερμηνεία.
Η Ορίζουσα του πίνακα
|
R
(
θ
)
|
=
1
{\displaystyle |R(\theta )|=1}
.
Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής με γωνίες
θ
{\displaystyle \theta }
και
ϕ
{\displaystyle \phi }
είναι ο πίνακας περιστροφής για την γωνία
θ
+
ϕ
{\displaystyle \theta +\phi }
, δηλαδή
R
(
θ
)
⋅
R
(
ϕ
)
=
R
(
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle R(\theta )\cdot R(\phi )=R(\theta +\phi )}
.
Στις τρεις διαστάσεις
Περιστροφή γύρω από τους άξονες
Όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα σημείο γύρω από έναν από τους άξονες xx', yy' ή zz', τότε η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής δεν αλλάζει και οι άλλες δύο συντεταγμένες αλλάζουν κατά τον πίνακα περιστροφής στις δύο διαστάσεις.
Επομένως, ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
γύρω από τον άξονα zz' δίνεται από τον πίνακα:[6] :307 [3] : 62
R
z
(
θ
)
=
[
cos
θ
−
sin
θ
0
sin
θ
cos
θ
0
0
0
1
]
.
{\displaystyle R_{z}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}.}
Αντίστοιχα ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από τους άξονες xx' και yy' δίνεται από τους πίνακες:
R
x
(
θ
)
=
[
1
0
0
0
cos
θ
−
sin
θ
0
sin
θ
cos
θ
]
{\displaystyle R_{x}(\theta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}\quad }
και
R
y
(
θ
)
=
[
cos
θ
0
−
sin
θ
0
1
0
sin
θ
0
cos
θ
]
.
{\displaystyle \quad R_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}.}
Παραπομπές
↑ 1,0 1,1 Καδιανακης, Ν.· Καρανασιος, Σ. (2014). Γραμμική άλγεβρα, αναλυτική γεωμετρία και εφαρμογές . Αθήνα. ISBN 960-91725-0-4 .
↑ Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες . Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8 .
↑ 3,0 3,1 Μουστάκας, Κ.· Παλιόκας, Ι.· Τσακίρης, Α.· Τζοβάρας, Δ. (2015). Γραφικά και εικονική πραγματικότητα . Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-255-4 .
↑ Αριστίδου, Ανδρέας. «Γραφικά υπολογιστών Βασικά μαθηματικά: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί» (PDF) . Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2022 .
↑ Ασβεστας, Π. «Εισαγωγή στη Ρομποτική: Μετασχηματισμοί στις 2 διαστάσεις» (PDF) . Σχολή Μηχανικών, Τμήμα Μηχανικών Βιοιατρικής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής. Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2022 .
↑ Sernesi, E. (1993). Linear algebra : a geometric approach (English language έκδοση). London: Chapman & Hall. ISBN 0-412-40680-2 .