Διάγραμμα Βενν για το απόλυτο συμπλήρωμα συνόλου.
Διάγραμμα Βενν για το σχετικό συμπλήρωμα συνόλου
Y
{\displaystyle Y}
από το
X
{\displaystyle X}
.
Στην θεωρία συνόλων , το συμπλήρωμα ενός συνόλου
A
{\displaystyle A}
είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο
A
{\displaystyle A}
, και συμβολίζεται ως
A
c
{\displaystyle A^{c}
ή
A
′
{\displaystyle A'}
.[1] :25-29 [2] [3]
Όταν το υπερσύνολο όλων των στοιχείων
Ω
{\displaystyle \Omega }
είναι ξεκάθαρο από τα συμφραζώμενα, τότε το απόλυτο συμπλήρωμα του
A
{\displaystyle A}
είναι όλα τα στοιχεία του
Ω
{\displaystyle \Omega }
που δεν ανήκουν στο
A
{\displaystyle A}
.
Το σχετικό συμπλήρωμα (ή διαφορά ) του
A
{\displaystyle A}
και του
B
{\displaystyle B}
είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του
A
{\displaystyle A}
που δεν ανήκουν στο
B
{\displaystyle B}
και συμβολίζεται ως
A
∖
B
{\displaystyle A\setminus B}
(ή
A
−
B
{\displaystyle A-B}
).
Παραδείγματα
Το απόλυτο συμπλήρωμα των φυσικών αριθμών
N
=
{
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}
είναι
{
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
}
{\displaystyle \{-1,-2,-3,\ldots \}
(όταν το
Ω
=
Z
=
{
…
,
−
1
,
0
,
+
1
,
…
}
{\displaystyle \Omega =\mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,+1,\ldots \}
), ενώ περιέχει επιπλέον στοιχεία όπως
1.2
,
π
,
31.5
,
…
{\displaystyle 1.2,\pi ,31.5,\ldots }
όταν
Ω
=
R
{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }
.
Η διαφορά των συνόλων
A
=
{
2
,
3
,
7
,
9
,
10
,
11
}
{\displaystyle A=\{2,3,7,9,10,11\}
και
B
=
{
3
,
4
,
7
,
9
,
11
}
{\displaystyle B=\{3,4,7,9,11\}
είναι το σύνολο
A
∖
B
=
{
2
,
3
,
10
}
{\displaystyle A\setminus B=\{2,3,10\}
.
Έστω
A
{\displaystyle A}
το σύνολο των γυναικών στην Ελλάδα και
B
{\displaystyle B}
το σύνολο όλων των ανθρώπων κάτω των 65. Τότε η διαφορά των
A
{\displaystyle A}
και
B
{\displaystyle B}
είναι οι ηλικιωμένες γυναίκες στην Ελλάδα.
Απόλυτο συμπλήρωμα
Το απόλυτο συμπλήρωμα του
A
{\displaystyle A}
είναι το σύνολο
A
c
=
{
x
∈
Ω
:
x
∉
A
}
{\displaystyle A^{c}=\{x\in \Omega :x\notin A\}
.
Ιδιότητες
Για κάθε σύνολο
A
{\displaystyle A}
και
B
{\displaystyle B}
ισχύει ότι:[4]
A
∪
A
c
=
Ω
{\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }
.
A
∩
A
c
=
∅
{\displaystyle A\cap A^{c}=\varnothing }
.
(
A
c
)
c
=
A
{\displaystyle (A^{c})^{c}=A}
.
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
ανν
B
c
⊆
A
c
{\displaystyle B^{c}\subseteq A^{c}
.
(
A
∩
B
)
c
=
A
c
∪
B
c
{\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}
(τύποι ντε Μόργκαν).
(
A
∪
B
)
c
=
A
c
∩
B
c
{\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}
(τύποι ντε Μόργκαν)
(
A
×
B
)
c
=
(
A
c
×
B
c
)
∪
(
A
c
×
B
)
∪
(
A
×
B
c
)
{\displaystyle (A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})}
.
Σχετικό συμπλήρωμα (ή διαφορά συνόλων)
Το σχετικό συμπλήρωμα (ή διαφορά ) του
A
{\displaystyle A}
και του
B
{\displaystyle B}
είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του
A
{\displaystyle A}
που δεν ανήκουν στο
B
{\displaystyle B}
, δηλαδή το σύνολο
A
∖
B
=
{
x
∈
A
:
x
∉
B
}
{\displaystyle A\setminus B=\{x\in A:x\notin B\}
.
Επομένως το απόλυτο συμπλήρωμα
A
c
=
Ω
∖
A
{\displaystyle A^{c}=\Omega \setminus A}
και η διαφορά
A
∖
B
=
A
∩
B
c
{\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}
.
Ιδιότητες
Για κάθε σύνολο
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
ισχύει ότι:
A
∖
A
=
∅
{\displaystyle A\setminus A=\varnothing }
.
A
∖
∅
=
A
{\displaystyle A\setminus \varnothing =A}
.
∅
∖
A
=
∅
{\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }
.
A
∖
B
=
(
A
∪
B
)
∖
B
=
A
∖
(
A
∩
B
)
{\displaystyle A\setminus B=(A\cup B)\setminus B=A\setminus (A\cap B)}
.
(
A
∖
B
)
∩
B
=
∅
{\displaystyle (A\setminus B)\cap B=\varnothing }
.
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
ανν
A
∖
B
=
∅
{\displaystyle A\setminus B=\emptyset }
.
(
A
∖
B
)
×
C
=
(
A
×
C
)
∖
(
B
×
C
)
{\displaystyle (A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)}
(επιμεριστική ιδιότητα ).
(
A
∖
B
)
×
(
C
∖
D
)
=
(
A
×
C
)
∩
(
B
c
×
D
c
)
{\displaystyle (A\setminus B)\times (C\setminus D)=(A\times C)\cap (B^{c}\times D^{c})}
.
(
C
×
D
)
∖
(
A
×
B
)
=
(
(
C
−
A
)
×
D
)
∪
(
C
×
(
D
−
B
)
)
{\displaystyle (C\times D)\setminus (A\times B)=((C-A)\times D)\cup (C\times (D-B))}
.
Δείτε επίσης
Παραπομπές