Τηλεσκοπική σειρά

Στα μαθηματικά, η τηλεσκοπική σειρά είναι μια σειρά της οποίας ο γενικός όρος ${\displaystyle t_{n}$ είναι της μορφής ${\displaystyle t_{n}=a_{n+1}-a_{n}$, δηλαδή η διαφορά δύο διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας ${\displaystyle (a_{n})}$.^[1]

Κατά συνέπεια, τα μερικά αθροίσματα αποτελούνται μόνο από δύο όρους της ${\displaystyle (a_{n})}$ μετά την απαλοιφή.^[2][3] Αυτή η τεχνική απαλοιφής, με το μέρος κάθε όρου να απαλείφεται με το μέρος του επόμενου όρου, είναι γνωστή ως μέθοδος διαφορών.

Για παράδειγμα, η σειρά

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}$

απλοποιείται ως εξής:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}-{\frac {1}{n+1}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}-{\frac {1}{n+1}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}\right)+\left({\frac {1}{2}-{\frac {1}{3}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}-{\frac {1}{N+1}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}+{\frac {1}{2}\right)+\left(-{\frac {1}{3}+{\frac {1}{3}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}+{\frac {1}{N}\right)-{\frac {1}{N+1}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}\right\rbrack =1.\end{aligned}$

Μια πρώιμη δήλωση του τύπου για το άθροισμα ή τα μερικά αθροίσματα μιας τηλεσκοπικής σειράς μπορεί να βρεθεί σε ένα έργο του 1644 από τον Ευαντζελίστα Τοριτσέλι, De dimensione parabolae.^[4]

Τα τηλεσκοπικά αθροίσματα είναι πεπερασμένα αθροίσματα στα οποία ζεύγη διαδοχικών όρων απαλείφονται, αφήνοντας μόνο τους αρχικούς και τελικούς όρους.^[5] Έστω ${\displaystyle a_{n}$ μια ακολουθία αριθμών. Τότε,$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}$$ Όσο το ${\displaystyle a_{n}$ τείνει στο 0, το άθροισμα που προκύπτει είναι:$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}.}$$

• Σε πολλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, λόγω της αναπαράστασής τους, μπορούμε να απαλείψουμε διαδοχικούς όρους με την τηλεσκοπική μέθοδο:$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}\csc \left({\frac {1}{2}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}\csc \left({\frac {1}{2}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}\csc \left({\frac {1}{2}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}\right)\right).\end{aligned}$$
• Σε μερικά αθροίσματα της μορφής$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}$$όπου f και g είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις των οποίων το πηλίκο μπορεί να χωριστεί σε μερικά κλάσματα, δεν θα λειτουργήσει αυτή η μέθοδος. Για παράδειγμα, έχουμε ότι:$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}+{\frac {1}{n+2}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}+{\frac {1}{2}\right)+\left({\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}\right)+\left({\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}+{\frac {1}{n}\right)+\left({\frac {1}{n}+{\frac {1}{n+1}\right)+\left({\frac {1}{n+1}+{\frac {1}{n+2}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}$$ Το πρόβλημα είναι ότι οι όροι δεν απαλείφονται.
• Έστω k θετικός ακέραιος αριθμός. Τότε $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}={\frac {H_{k}{k}$$ όπου H_k είναι ο k-οστός αρμονικός αριθμός. Όλοι οι όροι μετά το 1/(k − 1) απαλείφονται.
• Έστω k,m με k ${\displaystyle \neq }$ m θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Τότε:$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}={\frac {1}{m-k}\cdot {\frac {k!}{m!}$$

Στη θεωρία πιθανοτήτων, η διαδικασία Πουασσόν είναι μια στοχαστική διαδικασία της οποίας η απλούστερη περίπτωση περιλαμβάνει "αφίξεις" σε τυχαίους χρόνους, τον χρόνο αναμονής μέχρι την επόμενη άφιξη έχοντας εκθετική κατανομή χωρίς μνήμη (έλλειψη μνήμης εκθετικής κατανομής) και τον αριθμό των "αφίξεων" σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα έχοντας κατανομή Πουασσόν της οποίας η αναμενόμενη τιμή είναι ανάλογη με το μήκος του χρονικού διαστήματος. Έστω X_t ο αριθμός των "αφίξεων" πριν από το χρονικό διάστημα t και έστω T_x ο χρόνος αναμονής μέχρι την x-οστή "άφιξη". Αναζητούμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής T_x. Χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την κατανομή Πουασσόν, η οποία μας λέει ότι:

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}{x!},}$

όπου λ είναι η μέση τιμή των αριθμών των αφίξεων σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα μήκους 1. Παρατηρήστε ότι το συμβάν {X_t ≥ x} είναι ίδιο με το συμβάν {T_x ≤ t}, και επομένως έχουν την ίδια πιθανότητα. Διαισθητικά, αν συμβεί κάτι τουλάχιστον ${\displaystyle x}$ φορές πριν από τον χρόνο ${\displaystyle t}$, θα πρέπει να περιμένουμε το πολύ ${\displaystyle t}$ για την x-οστή άφιξη. Η συνάρτηση πυκνότητας που αναζητούμε είναι επομένως:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}{u!}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}{(u-1)!}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}{u!}\right)\end{aligned}$

Το άθροισμα αυτό είναι τηλεσκοπικό, οπότε έχουμε τελικά:

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}{(x-1)!}.}$

Για άλλες εφαρμογές, δείτε:

• Η σειρά του Γκράντι
• Θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού
• Ομολογία

Το τηλεσκοπικό γινόμενο είναι ένα πεπερασμένο γινόμενο (ή το μερικό γινόμενο ενός άπειρου γινομένου) που μπορεί να απλοποιηθεί με τη μέθοδο των πηλίκων για να είναι τελικά μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός παραγόντων.^[6][7] Είναι τα πεπερασμένα γινόμενα στα οποία διαδοχικοί όροι απαλείφουν παρονομαστή με αριθμητή, αφήνοντας μόνο τους αρχικούς και τελικούς όρους. Έστω ${\displaystyle a_{n}$ μια ακολουθία αριθμών. Τότε, $${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}{a_{n}={\frac {a_{0}{a_{N}.}$$ Όσο το ${\displaystyle a_{n}$ τείνει στο 1, το γινόμενο που προκύπτει είναι:$${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}{a_{n}=a_{0}$$

Για παράδειγμα, το άπειρο γινόμενο^[6] $${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}\right)}$$ απλοποιείται ως εξής:$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}\times {\frac {2}{3}\times {\frac {3}{4}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {3}{2}\times {\frac {4}{3}\times {\frac {5}{4}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}\times {\frac {N+1}{N}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N}{N}+{\frac {1}{N}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}.\end{aligned}$$