Ambaŭflanka laplaca transformo

Ambaŭflanka laplaca transformo estas integrala transformo, ligita kun la furiera transformo, la transformo de Mellin kaj kun la kutima laplaca transformo.

Se ${\displaystyle f(x)}$ estas reela aŭ kompleksa funkcio de reela variablo ${\displaystyle t\in R}$, do ambaŭflanka laplaca transformo ${\displaystyle {\mathcal {B}\left\{f(t)\right\}$ rezultas je la jena formulo:

${\displaystyle {\mathcal {B}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

La integralo en tiu integro subkomprenas malpropran kaj konverĝan tiam, kiam ekzistas: ${\displaystyle \left\{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matrix}\right.}$

Kelkfoje tiaj integraloj skribeblas kiel:

${\displaystyle {\mathcal {T}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

En ĝenerala okazo la variablo ${\displaystyle t}$ povas esti kompleksa variablo.

• Se ${\displaystyle u(t)}$ estas funkcio de Hevisajde, de normala laplaca transformo ${\displaystyle {\mathcal {L}$, ĝi povas esprimi pere de ambaŭflanka transformo kiel:

${\displaystyle {\mathcal {L}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}\left\{f(t)u(t)\right\}.}$

Kaj reen:

${\displaystyle \left\{\mathcal {B}f\right\}(s)=\left\{\mathcal {L}f(t)\right\}(s)+\left\{\mathcal {L}f(-t)\right\}(-s).}$

• Transformo de Mellin povas esprimi pere de ambaŭflanka transformo kiel:

${\displaystyle \left\{\mathcal {M}f\right\}(s)=\left\{\mathcal {B}f(e^{-x})\right\}(s)}$

Kaj reen:

${\displaystyle \left\{\mathcal {B}f\right\}(s)=\left\{\mathcal {M}f(-\ln x)\right\}(s).}$

• Furiera transformo povas esprimi pere de ambaŭflanka transformom kiel:

malsukcesis analizi formulon (MathML, alternative SVG aŭ PNG (rekomendata por modernaj foliumiloj kaj alirebleco-iloj): Ne valida respondo ("Math extension cannot connect to Restbase.") de servilo "http://localhost:6011/eo.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f\right\}(-is).}

Atributoj de Laplaca transformo

	Tempa regiono	Unuflanka regiono	Ambaŭflnka regiono
Unua derivaĵo	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0)\ }$	${\displaystyle sF(s)\ }$
Dua derivaĵo	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\ }$	${\displaystyle s^{2}F(s)\ }$

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987

Ĉi tiu artikolo ankoraŭ estas ĝermo. Helpu al Vikipedio plilongigi ĝin. Se jam ekzistas alilingva samtema artikolo pli disvolvita, traduku kaj aldonu el ĝi (menciante la fonton). Bonvolu aldoni parametron por plibone kategoriigi la paĝon.