Diferenciala operatoro

Diferenciala operatoro estas lineara operatoro, kiu konsistas el (partaj) derivoj kun koeficientoj.

Se ${\displaystyle M}$ estas glata sternaĵo, kaj ${\displaystyle E}$ kaj ${\displaystyle F}$ estas glataj vektoraj faskoj sur ĝi, do diferenciala operatoro de grado ${\displaystyle k}$ de sekcioj de ${\displaystyle E}$ al sekcioj de ${\displaystyle F}$ estas operatoro de la jena formo:

${\displaystyle D\colon \Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

${\displaystyle D=T_{0}+T_{1}^{\mu }\partial _{\mu }+T_{2}^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }+\dotsb +T_{k}^{\mu _{1}\mu _{2}\dotso \mu _{k}\partial _{\mu _{1}\partial _{\mu _{2}\dotsm \partial _{\mu _{k}$

La koeficiencoj ${\displaystyle T_{0}$ estas sekcioj de la jenaj vektoraj faskoj:

${\displaystyle T_{0}\in \Gamma (E^{*}\otimes F)}$

${\displaystyle T_{1}\in \Gamma (E^{*}\otimes \mathrm {T} M\otimes F)}$

${\displaystyle T_{2}\in \Gamma (E^{*}\otimes \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M\otimes F)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle T_{k}\in \Gamma (E^{*}\otimes (\mathrm {T} M)^{\otimes k}\otimes F)}$

Ĉi-supre, ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ estas la tanĝa fasko de la glata sternaĵo ${\displaystyle M}$. La tanĝaj indicoj de ${\displaystyle T_{i}^{\mu _{1}\dotso \mu _{i}$ estas simetriaj.

La ĉi-supra esprimo dependas de la koordinatsistemo uzata sur la sternaĵo. Tamen, ŝanĝo de la koordinatsistemo ne ŝanĝas la ĝeneralan formon de la ĉi-supra esprimo, nek la grado.

Lineara konekto en vektora fasko difinas la kunvariantan derivon:

${\displaystyle \nabla \colon \Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }s^{a}=\partial _{\mu }s^{a}+\Gamma _{\mu b}^{a}s^{b}$

Ĝi estas diferenciala operatoro de grado 1.

La laplaca operatoro estas ekzemplo de diferenciala operatoro de grado 2. Sur rimana sternaĵo ${\displaystyle (g,M)}$, la laplaca operatoro sur funkcioj estas la jeno:

${\displaystyle \Delta \colon {\mathcal {C}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \Delta f=g^{ij}\partial _{i}\partial _{j}f+g^{ij}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}f}$

En plata spaco, la simbolo de Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}$ estas nul.

• Eric W. Weisstein, Differential operator en MathWorld.