Kategorio (matematiko)

En matematiko, kategorio estas formaligo de ia simpla universo de matematikaj entoj. Kategorio konsistas el objektoj kaj morfioj inter la objektoj; en kategorio, la morfioj estas asocie komponeblaj, se la fonta aroj kaj cela aroj kongruas; kaj idento de komponado ekzistas.

Difino

Kategorio ${\displaystyle {\mathcal {C}$ konsistas el la ĉi-suba dateno:

• klaso ${\displaystyle {\mathcal {O}$, kies elementoj nomiĝas la objektoj de la kategorio.
• klaso ${\displaystyle {\mathcal {M}$, kies elementoj nomiĝas la morfioj de la kategorio.
• bildigo ${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1}\colon {\mathcal {M}\to {\mathcal {O}$. Pri morfio ${\displaystyle f}$, la objekto ${\displaystyle \partial _{0}f}$ nomiĝas la argumentaro de la morfio, kaj la objekto ${\displaystyle \partial _{1}f}$ nomiĝas la cela aro de la morfio. Pri objektoj ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {O}$, oni uzas la notacion ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}(X,Y)=\{f\in {\mathcal {M}\colon \partial _{0}f=X\land \partial _{1}f=Y\}$, la morfiaro inter ${\displaystyle X}$ kaj ${\displaystyle Y}$. Oni ankaŭ uzas la notacion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ por montri ke ${\displaystyle \partial _{0}f=X}$ kaj ${\displaystyle \partial _{1}f=Y}$.
• bildigo ${\displaystyle \operatorname {id} \colon {\mathcal {O}\to {\mathcal {M}$. Pri objekto ${\displaystyle X}$, la morfio ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}$ nomiĝas la identa morfio de la objekto.
• Pri ajna triopo de objektoj ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {O}$, bildigo ${\displaystyle \circ \colon \hom(Y,Z)\times \hom(X,Y)\to \hom(X,Z)}$. Pri morfioj ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ kaj ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$, la morfio ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ nomiĝas la komponaĵo de la du morfioj.

La ĉi-supra dateno devas plenumi la ĉi-subajn aksiomojn:

• (Asocieco) Morfioj komponiĝas asocie. Alivorte, pri ajnaj objektoj ${\displaystyle X,Y,Z,W\in {\mathcal {O}$ kaj ajnaj morfioj ${\displaystyle f\in \hom _{\mathcal {C}(X,Y)}$, ${\displaystyle g\in \hom _{\mathcal {C}(Y,Z)}$, kaj ${\displaystyle h\in \hom _{\mathcal {C}(Z,W)}$, ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$.
• (Idento) La identa morfio estas la idento de komponado. Alivorte, pri ajnaj objektoj ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {O}$ kaj ajna morfio ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, do ${\displaystyle f=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}$.

En la ordinara aroteoria formaligo (aksiomoj de Zermelo-Fraenkel) de matematiko, la ĉi-supra difino de la koncepto de kategorioj estas neformala, ĉar la koncepto de klasoj estas neformala. Se oni postulas ke la klasoj de objektoj kaj morfioj estas fakte aroj, do la rezultaj koncepto nomiĝas malgranda kategorio. Tamen, en formaligoj kiuj priskribas klasojn (ekz. la aksiomoj de von Neumann–Bernays–Gödel), la klasoj estas rekte formaligeblaj.

Ekzemploj

Ekzistas multegaj ekzemploj de kategorioj:

• La kategorio, kies objektoj estas aroj, kies morfioj estas bildigoj.
• La kategorio, kies objektoj estas topologiaj spacoj, kies morfioj estas kontinuaj bildigoj.
• La kategorio, kies objektoj estas glataj sternaĵoj, kies morfioj estas glataj bildigoj.
• La kategorio, kies objektoj estas grupoj, kies morfioj estas grupaj homomorfioj.
• La kategorio, kies objektoj estas komutaj grupoj, kies morfioj estas grupaj homomorfioj inter komutaj grupoj.
• La kategorio, kies objektoj estas ringoj, kies morfioj estas ringaj homomorfioj.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Category en MathWorld.