Conjunto polar

En análisis funcional y de convexidad, y en otras disciplinas matemáticas relacionadas, un conjunto polar ${\displaystyle A^{\circ }$ es un conjunto convexo especial asociado a cualquier subconjunto ${\displaystyle A}$ de un espacio vectorial ${\displaystyle X,}$ que se encuentra en su espacio dual ${\displaystyle X^{\prime }.}$ El bipolar de un subconjunto es el polar de ${\displaystyle A^{\circ },}$ pero se encuentra en ${\displaystyle X}$ (no en ${\displaystyle X^{\prime \prime }$).

Hay al menos tres definiciones posibles de un conjunto polar, que se originan en la geometría proyectiva y el análisis convexo.^[1]​ En cada caso, la definición describe una dualidad entre ciertos subconjuntos de un emparejamiento de espacios vectoriales ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ sobre los números reales o complejos (${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son a menudo espacios vectoriales topológicos (EVTs)).

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, entonces, a menos que se indique lo contrario, ${\displaystyle Y}$ generalmente, pero no siempre, será algún espacio vectorial de funcionales lineales en ${\displaystyle X}$ y el emparejamiento dual ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K} }$ será la aplicación de evaluación bilineal (en un punto) definida por

${\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x).}$

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico, entonces el espacio ${\displaystyle Y}$ normalmente, aunque no siempre, será el espacio dual de ${\displaystyle X,}$ en cuyo caso el emparejamiento dual volverá a ser la aplicación de evaluación.

Denótese la bola cerrada de radio ${\displaystyle r\geq 0}$ centrada en el origen en el cuerpo escalar subyacente ${\displaystyle \mathbb {K} }$ de ${\displaystyle X}$ por

${\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.}$

Supóngase que ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ es un emparejamiento. El polar o polar absoluto de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ es el conjunto:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ donde }B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}$

donde ${\displaystyle \langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}$ denota la imagen del conjunto ${\displaystyle A}$ bajo la aplicación ${\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }$ definida por ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}$ Si ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ denota el conjunto absolutamente convexo de ${\displaystyle A,}$ que, por definición, es el subconjunto de ${\displaystyle X}$ convexo y equilibrado más pequeño que contiene a ${\displaystyle A,}$ entonces ${\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}$

Esta es una transformación afín de la definición geométrica, que tiene la útil caracterización de que el polar analítico funcional de la bola unitaria (en ${\displaystyle X}$) es precisamente la bola unitaria (en ${\displaystyle Y}$).

El prepolar o prepolar absoluto de un subconjunto ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ es el conjunto:

${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}$

Muy a menudo, el prepolar de un subconjunto ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ también se denomina polar o polar absoluto de ${\displaystyle B}$ y se denota por ${\displaystyle B^{\circ }$; en la práctica, esta reutilización de la notación y de la palabra "polar" rara vez causa problemas (de ambigüedad) y muchos autores ni siquiera utilizan la palabra "prepolar".

El 'bipolar de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X,}$ a menudo denotado por ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ es el conjunto ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}$; eso es,

${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}$

El polar real de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ es el conjunto:

${\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}$

y el prepolar real de un subconjunto ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ es el conjunto:

${\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}$

Al igual que con el prepolar absoluto, el prepolar real generalmente se llama "polar real" y también se denota por ${\displaystyle B^{r}.}$^[2]​. Es importante señalar que algunos autores (por ejemplo, [Schaefer 1999]) definen "polar" como "polar real" (en lugar de "polar absoluto", como se hace en este artículo) y utilizan la notación ${\displaystyle A^{\circ }$ para ello (en lugar de la notación ${\displaystyle A^{r}$ que se utiliza en este artículo y en [Narici 2011]).

El bipolar real de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X,}$ denotado a veces por ${\displaystyle A^{rr},}$ es el conjunto ${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$; que es igual al cierre ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ de la envolvente convexa de ${\displaystyle A\cup \{0\}.}$^[2]​

Para un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{r}$ es convexo, ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ cerrado y contiene a ${\displaystyle A^{\circ }.}$^[2]​ En general, es posible que ${\displaystyle A^{\circ }\neq A^{r}$, pero la igualdad se mantendrá si ${\displaystyle A}$ es equilibrado. Además, ${\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$ donde ${\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}$ denota la envolvente equilibrada de ${\displaystyle A^{r}.}$^[2]​

La definición de "polar" de un conjunto no está universalmente aceptada. Aunque en este artículo se definió "polar" como "polar absoluto", algunos autores definen "polar" como "polar real" y otros autores utilizan otras definiciones. No importa cómo un autor defina "polar", la notación ${\displaystyle A^{\circ }$ casi siempre representa su elección de la definición (por lo que el significado de la notación ${\displaystyle A^{\circ }$ puede variar de una fuente a otra). En particular, la polar de ${\displaystyle A}$ a veces se define como:

${\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}$

donde la notación es ${\displaystyle A^{|r|}$ no es la notación estándar.

Ahora se discute brevemente cómo se relacionan estas diversas definiciones entre sí y cuándo son equivalentes.

Siempre se considera el caso de que

${\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}$

y si ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ tiene un valor real (o de manera equivalente, si ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son espacios vectoriales sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$), entonces ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}.}$

Si ${\displaystyle A}$ es un conjunto simétrico (es decir, ${\displaystyle -A=A}$ o equivalentemente, ${\displaystyle -A\subseteq A}$), entonces ${\displaystyle A^{|r|}=A^{r}$, donde si además ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ tiene un valor real, entonces ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.}$

Si ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son espacios vectoriales sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (de modo que ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ tiene valores complejos) y si ${\displaystyle iA\subseteq A}$ (donde debe tenerse en cuenta que esto implica ${\displaystyle -A=A}$ y ${\displaystyle iA=A}$), entonces

${\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}A\right)^{\circ }$

donde si además ${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ para todos los ${\displaystyle r}$ reales, entonces ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$

Por lo tanto, para que todas estas definiciones del conjunto polar de ${\displaystyle A}$ concuerden, es suficiente que ${\displaystyle sA\subseteq A}$ para todos los escalares ${\displaystyle s}$ de longitud unidad^{[nota 1]}​ (donde esto es equivalente a que ${\displaystyle sA=A}$ para todos los escalares de longitud unitaria ${\displaystyle s}$). En particular, todas las definiciones del polar de ${\displaystyle A}$ coinciden cuando ${\displaystyle A}$ es un conjunto equilibrado (que suele ser el caso, pero no siempre), por lo que a menudo cuál de estas posibles definiciones se utiliza es irrelevante. Sin embargo, estas diferencias en las definiciones del "polar" de un conjunto ${\displaystyle A}$ a veces introducen diferencias técnicas sutiles o importantes cuando ${\displaystyle A}$ no está necesariamente equilibrado.

Espacio dual algebraico

Si ${\displaystyle X}$ es cualquier espacio vectorial, entonces ${\displaystyle X^{\#}$ denota el espacio dual de ${\displaystyle X,}$ que es el conjunto de todos los funcionales lineales en ${\displaystyle X.}$ El espacio vectorial ${\displaystyle X^{\#}$ es siempre un subconjunto cerrado del espacio ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}$ de todas las funciones valoradas en ${\displaystyle \mathbb {K} }$ en ${\displaystyle X}$ bajo la topología de convergencia puntual. Entonces, cuando ${\displaystyle X^{\#}$ está dotado de la topología subespacial, ${\displaystyle X^{\#}$ se convierte en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo completo de Hausdorff. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X,}$ considérese que

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ donde }B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}$

Si ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$ son subconjuntos, entonces ${\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}$ y ${\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}$ donde ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ denota el conjunto absolutamente convexo de ${\displaystyle A.}$ Para cualquier subespacio vectorial de dimensión finita ${\displaystyle Y}$ de ${\displaystyle X,}$ denótese por ${\displaystyle \tau _{Y}$ la topología euclídea en ${\displaystyle Y,}$ que es la topología única que convierte a ${\displaystyle Y}$ en un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff. Si ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finito} }$ denota la unión de todas las clausuras, ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}$ ya que ${\displaystyle Y}$ varía en todos los subespacios vectoriales de dimensión finita de ${\displaystyle X,}$ entonces ${\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finito} }\right]^{\#}$ (consúltese esta nota al pie^{[nota 2]}​ para una explicación). Si ${\displaystyle A}$ es un subconjunto absorbente de ${\displaystyle X}$, entonces, según el teorema de Banach-Alaoglu, ${\displaystyle A^{\#}$ es un subconjunto compacto *débil de ${\displaystyle X^{\#}.}$

Si ${\displaystyle A\subseteq X}$ es cualquier subconjunto no vacío de un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ y si ${\displaystyle Y}$ es cualquier espacio vectorial de funcionales lineales en ${\displaystyle X}$ (es decir, un subespacio vectorial de espacios duales de ${\displaystyle X}$), entonces la aplicación de valores reales

${\displaystyle |\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }$      definido por      ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}$

es una seminorma en ${\displaystyle Y.}$ Si ${\displaystyle A=\varnothing }$ entonces, por definición de elemento supremo e ínfimo, ${\displaystyle \,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,}$ de modo que la aplicación ${\displaystyle \,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,}$ definido anteriormente no tendría valor real y, en consecuencia, no sería una seminorma.

Espacio dual continuo

Supóngase que ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico (EVT) con espacio dual ${\displaystyle X^{\prime }.}$ El caso especial importante donde ${\displaystyle Y:=X^{\prime }$ y los corchetes representan la aplicación canónica:

${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$

se considera ahora. El triplete formado por ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ asociado con ${\displaystyle X}$ es el llamado emparejamiento canónico.

La polar de un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ con respecto a este emparejamiento canónico es:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ porque }\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ donde }B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}$

Para cualquier subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }$ donde ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ denota la clausura de ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle X.}$

El teorema de Banach-Alaoglu establece que si ${\displaystyle A\subseteq X}$ es un entorno del origen en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}$ y este conjunto polar es un subconjunto compacto del espacio dual continuo ${\displaystyle X^{\prime }$ cuando ${\displaystyle X^{\prime }$ está dotado de topología *débil (también conocida como topología de convergencia puntual).

Si ${\displaystyle A}$ satisface ${\displaystyle sA\subseteq A}$ para todos los escalares ${\displaystyle s}$ de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto por ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ (el operador de parte real) de modo que:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}$

El prepolar de un subconjunto ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y=X^{\prime }$ es:

${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}$

Si ${\displaystyle B}$ satisface ${\displaystyle sB\subseteq B}$ para todos los escalares ${\displaystyle s}$ de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto con ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ de modo que:

${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}$

donde ${\displaystyle B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.}$

El teorema bipolar caracteriza el bipolar de un subconjunto de un espacio vectorial topológico.

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio normado y ${\displaystyle S}$ es la bola unitaria abierta o cerrada en ${\displaystyle X}$ (o incluso cualquier subconjunto de la bola unitaria cerrada que contiene la bola unitaria abierta), entonces ${\displaystyle S^{\circ }$ es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo ${\displaystyle X^{\prime }$ cuando ${\displaystyle X^{\prime }$ dotado de su norma dual canónica.

El cono polar de un cono convexo ${\displaystyle A\subseteq X}$ es el conjunto

${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}$

Esta definición da una dualidad en puntos e hiperplanos, escribiéndose estos últimos como la intersección de dos semiespacios orientados de manera opuesta. El hiperplano polar de un punto ${\displaystyle x\in X}$ es el lugar geométrico ${\displaystyle \{y~:~\langle y,x\rangle =0\}$. La relación dual para un hiperplano produce el punto polar de ese hiperplano.^[3]​

Algunos autores (confusamente) llaman a un cono dual cono polar, y en este artículo no se sigue esta convención.^[4]​

A menos que se indique lo contrario, ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ será un emparejamiento. La topología ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ es una topología *débil en ${\displaystyle Y}$, mientras que ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ es una topología débil en ${\displaystyle X.}$ Para cualquier conjunto ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{r}$ denota el polar real de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle A^{\circ }$ denota el polar absoluto de ${\displaystyle A.}$ El término "polar" se referirá al polar absoluto.

• El polar (absoluto) de un conjunto es convexo y equilibrado.^[5]​
• El polar real ${\displaystyle A^{r}$ de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ es convexo pero no necesariamente está equilibrado; ${\displaystyle A^{r}$ estará equilibrado si ${\displaystyle A}$ está equilibrado.^[6]​
• Si ${\displaystyle sA\subseteq A}$ para todos los escalares ${\displaystyle s}$ de longitud unidad, entonces ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$
• ${\displaystyle A^{\circ }$ es cerrado en ${\displaystyle Y}$ bajo una topología *débil en ${\displaystyle Y}$.^[3]​
• Un subconjunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle X}$ está débilmente acotado (es decir, acotado por ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$) si y solo si ${\displaystyle S^{\circ }$ es absorbente en ${\displaystyle Y}$.^[2]​
• Para un emparejamiento dual ${\displaystyle \langle X,X^{\prime }\rangle ,}$ donde ${\displaystyle X}$ es un EVT y ${\displaystyle X^{\prime }$ es su espacio dual continuo, si ${\displaystyle B\subseteq X}$ está acotado entonces ${\displaystyle B^{\circ }$ es absorbente en ${\displaystyle X^{\prime }.}$^[5]​ Si ${\displaystyle X}$ es localmente convexo y ${\displaystyle B^{\circ }$ es absorbente en ${\displaystyle X^{\prime }$, entonces ${\displaystyle B}$ está acotado en ${\displaystyle X.}$ Además, un subconjunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle X}$ está débilmente acotado si y solo si ${\displaystyle S^{\circ }$ es absorbente en ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• El ${\displaystyle A^{\circ \circ }$ bipolar de un conjunto ${\displaystyle A}$ es la envolvente convexa ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ de ${\displaystyle A\cup \{0\},}$ que es el conjunto cerrado y convexo ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ más pequeño que contiene tanto a ${\displaystyle A}$ como a ${\displaystyle 0.}$
  • De manera similar, el cono bidual de un cono ${\displaystyle A}$ es el ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ cerrado de una envolvente cónica de ${\displaystyle A.}$.^[7]​
• Si ${\displaystyle {\mathcal {B}$ es una base en el origen para un EVT ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).}$^[8]​
• Si ${\displaystyle X}$ es un EVT localmente convexo, entonces las polares (tomadas con respecto a ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$) de cualquier base entorno de 0 forman una familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle X^{\prime }$ (es decir, dado cualquier subconjunto acotado ${\displaystyle H}$ de ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$ existe un entorno ${\displaystyle S}$ del origen en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle H\subseteq S^{\circ }$).^[6]​
  • Por el contrario, si ${\displaystyle X}$ es un EVT localmente convexo, entonces los polares (tomados con respecto a ${\displaystyle \langle X,X^{\#}\rangle }$) de cualquier familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle X^{\prime }$ forman una base en un entorno del origen en ${\displaystyle X.}$^[6]​
• Sea ${\displaystyle X}$ un EVT con una topología ${\displaystyle \tau .}$ Entonces, ${\displaystyle \tau }$ es una topología en un EVT localmente convexa si y solo si ${\displaystyle \tau }$ es la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle X^{\prime }.}$^[6]​

Los dos últimos resultados explican por qué los subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo juegan un papel tan destacado en la teoría moderna del análisis funcional: porque los subconjuntos equicontinuos encapsulan toda la información sobre la topología original del espacio localmente convexo ${\displaystyle X}$.

Otras relaciones

• ${\displaystyle X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}$^[6]​ y ${\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.}$
• Para todos los escalares ${\displaystyle s\neq 0,}$ ${\displaystyle (sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}\left(A^{\circ }\right)}$ y para todos los ${\displaystyle t\neq 0,}$ ${\displaystyle (tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}\left(A^{|r|}\right)}$ y ${\displaystyle (tA)^{r}={\tfrac {1}{t}\left(A^{r}\right)}$ reales.
• ${\displaystyle A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.}$ Sin embargo, para el polar real se tiene que ${\displaystyle A^{rrr}\subseteq A^{r}.}$^[6]​
• Para cualquier colección finita de conjuntos ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$ :${\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).}$
• Si ${\displaystyle A\subseteq B}$, entonces ${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ },}$ ${\displaystyle B^{r}\subseteq A^{r},}$ y ${\displaystyle B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.}$
  • Un corolario inmediato es que ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }$. La igualdad necesariamente se cumple cuando ${\displaystyle I}$ es finito y puede no cumplirse si ${\displaystyle I}$ es infinito.
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }$ y ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.}$
• Si ${\displaystyle C}$ es un cono en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ para todo }c\in C\right\}.}$^[5]​
• Si ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}$ es una familia de subconjuntos cerrados ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ de ${\displaystyle X}$ que contienen ${\displaystyle 0\in X,}$ entonces el polar real de ${\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}$ es el recubrimiento convexo cerrado de ${\displaystyle \cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).}$^[6]​
• Si ${\displaystyle 0\in A\cap B}$ entonces ${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).}$^[9]​
• Para un cono convexo ${\displaystyle C}$ cerrado en un espacio vectorial real ${\displaystyle X,}$ el cono polar es el polar de ${\displaystyle C}$; es decir,

${\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},}$

donde ${\displaystyle \sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .}$^[1]​

• Teorema de Banach-Alaoglu
• Teorema bipolar
• Cono dual y cono polar
• Topología polar
• Espacio localmente convexo
• Espacio vectorial topológico

• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342. 
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I (Garling, D.J.H., trad.). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 159. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.