Elemento algebraico

Como ${\displaystyle K[x]}$ es dominio de ideales principales y el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal del anillo de partida del homomorfismo, entonces ${\displaystyle \ker(\beta )=(p)}$ (esto es, el ideal generado por ${\displaystyle p}$) para algún ${\displaystyle p\in K[x]}$.

Por el Primer Teorema de Isomorfía, ${\displaystyle \beta =i\circ {\bar {\beta }\circ \pi }$, donde ${\displaystyle i:\operatorname {im} \beta \hookrightarrow K(\alpha )}$ es el monomorfismo inclusión canónica (i.e., ${\displaystyle i(r)=r}$ cualquiera que sea el ${\displaystyle \in \operatorname {im} \beta }$), ${\displaystyle \textstyle \pi :K[x]\longrightarrow {\frac {K[x]}{\ker(\beta )}$ es el homomorfismo sobreyectivo aplicación proyección canónica (a cada ${\displaystyle p\in K[x]}$ le asigna su clase ${\displaystyle \pi (p)={\bar {q}=q+\ker(\beta )}$ en el cociente ${\displaystyle \textstyle {\frac {K[x]}{\ker(\beta )}$), y ${\displaystyle \textstyle {\bar {\beta }:{\frac {K[x]}{(p)}={\frac {K[x]}{\ker(\beta )}\longrightarrow \operatorname {im} (\beta )}$ es un isomorfismo de anillos unitarios.

Como ${\displaystyle {\bar {\beta }$ es sobreyectiva (ya que es isomorfismo), ${\displaystyle \operatorname {im} {\bar {\beta }=\operatorname {im} \beta \cong {\frac {K[x]}{(p)}$, que es subanillo de ${\displaystyle K(\alpha )}$, quien a su vez es un cuerpo, luego ${\displaystyle \operatorname {im} \beta }$ es dominio íntegro por carecer de divisores de cero no nulos, con lo que también ${\displaystyle \textstyle {\frac {K[x]}{(p)}$ es dominio íntegro.

Pero si ${\displaystyle \textstyle {\frac {K[x]}{(p)}$ es dominio íntegro será ${\displaystyle (p)}$ un ideal primo de ${\displaystyle K[x]}$. Sabemos que ${\displaystyle (p)=\ker(\beta )\neq \{0\}$ (por hipótesis), luego ${\displaystyle p\neq 0}$. Además, si fuera ${\displaystyle p\notin K=U(K[x])}$ (también por hipótesis). Con lo cual tenemos garantizado que ${\displaystyle p}$ es un polinomio irreducible en ${\displaystyle K[x]}$ (por ser dominio de ideales principales). Además, como ${\displaystyle K[x]}$ es dominio de ideales principales, todo ideal primo es maximal, con lo cual ${\displaystyle (p)}$ es ideal maximal de ${\displaystyle K[x]}$, luego ${\displaystyle \textstyle {\frac {K[x]}{(p)}$ es un cuerpo. Así ${\displaystyle \textstyle \operatorname {im} \beta \cong {\frac {K[x]}{(p)}$ es un subcuerpo de ${\displaystyle K(\alpha )}$. Como ${\displaystyle K\subset K[x]}$, si ${\displaystyle a\in K}$ será ${\displaystyle a=\beta (a)=(i\circ {\bar {\beta }\circ \pi )(a)=i({\bar {\beta }(\pi (a)))=i({\bar {\beta }(a))={\bar {\beta }(a)}$, con lo que se demuestra que ${\displaystyle K}$ es subcuerpo de ${\displaystyle \operatorname {im} \beta }$.

Por otro lado, ${\displaystyle {\bar {\beta }(x)=i({\bar {\beta }(x))=i({\bar {\beta }(\pi (x)))=(i\circ {\bar {\beta }\circ \pi )(x)=\beta (x)=\alpha }$, con lo que ${\displaystyle \textstyle \alpha \in \operatorname {im} \beta \cong {\frac {K[x]}{(p)}$. Así, ${\displaystyle \operatorname {im} \beta }$ es un subcuerpo de ${\displaystyle K(\alpha )}$ que contiene a ${\displaystyle K}$ y a ${\displaystyle \alpha }$. Como ${\displaystyle K(\alpha )}$ es la menor extensión de ${\displaystyle K}$ que contiene a ${\displaystyle \alpha }$ llegamos a la conclusión de que ${\displaystyle \textstyle K(\alpha )=\operatorname {im} \beta \cong {\frac {K[x]}{(p)}$.

En esta segunda situación (${\displaystyle \ker(\beta )\neq \{0\}$, o equivalentemente, existe algún ${\displaystyle p\in K[x]}$ irreducible con ${\displaystyle \textstyle {\frac {K[x]}{(p)}\cong K(\alpha )}$) se dice que ${\displaystyle \alpha }$ es algebraico sobre ${\displaystyle K}$.