Pendientes y deformaciones en vigas

En este artículo se muestran las fórmulas que se aplican para calcular pendientes y deformaciones en vigas, o sea la flecha máxima y el giro en el apoyo para algunos casos particulares de la curva elástica que se produce en vigas sometidas a cargas.

Vigas con soportes simples (biapoyadas)

En las siguientes fórmulas E designa al módulo de Young del material en que está construida la viga, e I al segundo momento de área de la sección transversal de la misma y L la luz de la viga:

Tipo de carga

Pendiente

Deformación

Curva elástica

Viga con carga concentrada P a media longitud

\theta \ _{1}=-\theta \ _{2}=-{\frac {PL^{2}{16EI

y_{\max }={\frac {-PL^{3}{48EI

para

x={\frac {L}{2

y=-{\frac {PxL^{2}{16EI}\left(1-{\frac {4}{3}{\frac {x^{2}{L^{2}\right)\quad x<{\frac {L}{2

Viga con carga concentrada en cualquier longitud

\theta \ _{1}=-{\frac {Pab\left(L+b\right)}{6EIL

y_{\max }=-{\frac {P}{9EI}{\frac {b}{\sqrt {3}L}(L^{2}-b^{2})^{\frac {3}{2

para $x={\sqrt {\frac {L^{2}-b^{2}{3$

y=-{\frac {PLbx}{6EI}\left(1-{\frac {b^{2}+x^{2}{L^{2}\right)\quad x<a

Viga con carga distribuida constante sobre toda su longitud

\theta _{\max }=-{\frac {qL^{3}{24EI

y_{\max }=-{\frac {-5qL^{4}{384EI

y(x)=-{\frac {qx}{24EI}\left(x^{3}-2Lx^{2}+L^{3}\right)

Viga con momento aplicado al inicio

\theta \ _{1}={\frac {M_{0}L}{3EI

$\theta _{2}=-{\frac {M_{0}L}{6EI$

y_{\max }={\frac {M_{0}L^{2}{9{\sqrt {3}EI

para $x=L\left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}\right)$

y={\frac {M_{0}L}{6EI}(L-x)\left(1-{\frac {(L-x)^{2}{L^{2}\right)

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas)

Tipo de carga

Pendiente

Deformación

Curva elástica

Ménsula con carga concentrada al extremo

\theta \ _{\max }={\frac {-PL^{2}{2EI

y_{\max }={\frac {-PL^{3}{3EI

y={\frac {-Px^{2}{6EI}\left(3L-x\right)

Ménsula con carga concentrada en un punto intermedio
(a una distancia

a

del extremo empotrado)

\theta \ _{\max }={\frac {-Pa^{2}{2EI

y_{\max }=-Pa^{2}{\frac {(3L-a)}{6EI

cuando

x<a

:

y={\frac {-Px^{2}{6EI}\left(3a-x\right)

cuando

x>a

:

y={\frac {-Pa^{2}{6EI}\left(3x-a\right)

Ménsula con carga distribuida constante sobre toda su longitud

\theta \ _{\max }={\frac {-wL^{3}{6EI

y_{\max }={\frac {-wL^{4}{8EI

y={\frac {-wx^{2}{24EI}\left(x^{2}-4Lx+6L^{2}\right)

Ménsula con carga distribuida constante sobre parte de su longitud

\theta \ _{\max }={\frac {-w}{6EI}\left(a^{3}-15c^{3}+3ac(a+c)\right)

$y_{\max }={\frac {-wca^{2}{3EI}\left(L(3+{\frac {c^{2}{a^{2})-a(1+{\frac {c^{2}{a^{2})\right)$

Ménsula con un momento puntal M₀ en el extremo

\theta \ _{\max }=-{\frac {M_{0}L}{EI

y_{\max }=-{\frac {M_{0}L^{2}{2EI

y(x)=-{\frac {-M_{0}x^{2}{2EI

Ménsula con un momento puntal M₀ en el vano

\theta \ _{\max }=-{\frac {M_{0}a}{EI

y_{\max }=-{\frac {M_{0}a^{2}{2EI}-{\frac {M_{0}ab}{EI

y(x)={\begin{cases}-{\cfrac {-M_{0}x^{2}{2EI}&x\leq a\\-{\cfrac {M_{0}a^{2}{2EI}-{\cfrac {M_{0}a(x-a)}{EI}&a\leq x\leq L\end{cases

Vigas biempotradas

Las vigas biempotradas son casos de vigas hiperestáticas que requieren la determinación de los momentos de empotramiento, antes de poder calcular directamente las pendientes y los desplazamientos sobre las mismas.

Tipo de carga

Reacciones

Pendiente, desplazamiento máximo y curva elástica

Biempotrada con carga uniforme
en una porción simétricamente distribuida