Regularización de Hadamard

En matemáticas, la regularización de Hadamard (también llamada parte finita de Hadamard) es un método de regularización de integrales divergentes en el cual se eliminan ciertos términos divergentes de la integral para quedarnos con resultado finito. Este método fue introducido por el matemático francés Jacques Hadamard en 1923. Riesz mostró que este procedimiento puede interpretarse como tomar como resultado de la integral divergente la extensión analítica de una integral convergente.

Si el valor principal de Cauchy de la integral:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}\,dt}$

existe, entonces la parte finita de Hadamard puede definirse como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}\,dt={\frac {d}{dx}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}\,dt.}$

También puede calcularse a partir de la definición:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}\,dt-{\frac {2f(x)}{\varepsilon }\right\}.}$

Referencias

• Blanchet, Luc; Faye, Guillaume (2000), «Hadamard regularization», Journal of Mathematical Physics 41 (11): 7675-7714, ISSN 0022-2488, MR 1788597, Zbl 0986.46024, doi:10.1063/1.1308506 ..
• Hadamard, Jacques (1923), Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations, Dover Phoenix editions, Dover Publications, New York, p. 316, ISBN 978-0-486-49549-1, JFM 49.0725.04, MR 0051411, Zbl 0049.34805 ..
• Hadamard, J. (1932), Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques (en francés), Paris: Hermann & Cie., p. 542, Zbl 0006.20501 ..
• Riesz, Marcel (1938), «Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels.», Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. (Szeged) (en francés) 9 (1–1): 1-42, JFM 64.0476.03, Zbl 0018.40704, archivado desde el original el 5 de marzo de 2016, consultado el 1 de abril de 2014 ..
• Riesz, Marcel (1938), «Rectification au travail "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels"», Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. (Szeged) (en francés) 9 (2–2): 116-118, JFM 65.1272.03, Zbl 0020.36402, archivado desde el original el 4 de marzo de 2016, consultado el 1 de abril de 2014 ..
• Riesz, Marcel (1949), «L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy», Acta Mathematica 81: 1-223, ISSN 0001-5962, MR 0030102, Zbl 0033.27601, doi:10.1007/BF02395016 .