Biraketa-solido

Biraketa-solidoa irudi lau bat plano bereko ardatz baten inguruan biratzean eratzen den solidoa da. Esaterako, zirkulu batek esfera bat eratzen du bere diametroaren inguruan biratzean; triangelu zuzen batek, bere kateto baten inguruan, kono bat. Horrelako solido baten bolumena integrazioz kalkula daiteke.

Biraketa-solidoaren bolumena eta azalera

${\displaystyle y=f(x)}$, non ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$, kurbaren biraketa-solidoaren bolumena X ardatzaren inguruan:

${\displaystyle V=\pi \int \limits _{a}^{b}(f(x))^{2}\,dx}$

Azalera:

${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}\,dx}$

Funtzioa adierazpide parametrikoan denean

${\displaystyle x=x(t),\ y=y(t);\ t\in \langle t_{1},t_{2}\rangle }$

Bolumena:

${\displaystyle V=\pi \left|\int \limits _{t_{1}^{t_{2}y^{2}(t)x'(t)\,dt\right|}$

Azalera:

${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{t_{1}^{t_{2}|y(t)|{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}\,dt}$

Ikus, gainera

• Biraketa-gainazala
• Pappus-Guldinen teorema

Kanpo estekak