Partikula aske

Fisikan, partikula askea inolako kanpo-indarrik nabaritzen ez duen partikula da. Beste hitzetan, ingurunearekin inolako elkarrekintzarik ez duen partikula da. Fisika klasikoaren arabera, partikula eremu-gabeko zonaldean mugitzen dela kontsideratzen da. Fisika kuantikoan, ordea, potentzial konstantean mugitzen da partikula, normalean nulua dela kontsideratzen delarik. ${\displaystyle H_{\mathrm {e} }(\mathbf {r,R} )\;\chi (\mathbf {r,R} )=E_{\mathrm {e} }\;\chi (\mathbf {r,R} )}$

Partikula aske klasikoa

Partikula aske klasikoa finkatutako v abiadurarengatik karakterizatuta dago. Momentua ondorengo ekuazioak ematen du

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$

eta energia zinetikoa (kasu honetan energia totala) ondorengoa da:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}mv^{2}$

m partikularen masa eta v bere abiadura bektorea direlarik.

Partikula aske kuantiko ez-erlatibista

Dimentsio bakarreko kasua

Problemaren Planteamendua

Demagun partikula bat aske mugitzen dela espazioko dimentsio batean, x ardatzean, hurrenez hurren. Aske mugitzen denez, ez du inolako eraginik jasotzen ingurunetik. Teoria Kuantikoaren arabera, partikula honen informazio guztia bere uhin-funtzioan dago, eta hau ezagututa, informazioa lor dezakegu. Uhin-funtzioa lortzeko modua sistema honi dagokion Schrödingerren ekuazioa ebaztea da:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}\Psi (\mathbf {x} ,t)={\hat {H}\Psi (\mathbf {x} ,t)}$

non ${\displaystyle {\hat {H}$ hamiltondar operadorea den, eta ${\displaystyle \Psi }$ partikularen uhin funtzioa x posizioan t denboran. Orokorrean, ${\displaystyle {\hat {H}={\hat {T}+{\hat {V}$ moduan idatz dezakegu, ${\displaystyle {\hat {T}=-{\frac {\hbar ^{2}{2m}{d^{2} \over dx^{2}$ energia zinetikoaren operadorea eta ${\displaystyle {\hat {V}={\hat {V}(\mathbf {x} ,t)}$ energia potentzialaren operadoreak direlarik.

Egoera geldikorren kasuan, Schrödingerren denborarekiko independientea den ekuazioa ebatzi behar da:

${\displaystyle {\hat {H}\Psi (\mathbf {x} )=E\Psi (\mathbf {x} )}$

Partikula askea izanik, ${\displaystyle {\hat {V}=0}$ da, eta kasu honetan ebatzi beharreko ekuazioak sinplifikatzen dira. Horrela, denborarekiko dependientea den ekuazioa horrela gelditzen zaigu:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}{2m}{\frac {\partial ^{2}{\partial x^{2}\ \psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}\psi (\mathbf {x} ,t)}$

Denborarekiko independientea den ekuazioa, aldiz, horrela gelditzen da:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}{2m}{d^{2} \over dx^{2}\ \psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )}$

Ekuazioen ebazpena eta emaitzak

Denborarekiko independientea den kasuan, ekuazioa ondorengo moduan berridatziko dugu:

${\displaystyle {d^{2} \over dx^{2}\ \psi (\mathbf {x} )=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}\psi (\mathbf {x} )}$

Konstante berri bat definituko dugu, ${\displaystyle k_{x}$, ondorengo moduan.

${\displaystyle k_{x}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}$

Horrela, ebatzi beharreko ekuazioa ondorengo ekuazio diferentziala da:

${\displaystyle {d^{2} \over dx^{2}\ \psi (\mathbf {x} )=-k^{2}\psi (\mathbf {x} )}$

Ekuazio diferentzial honen emaitzak ezagunak dira, eta forma hau hartzen dute:

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=e^{ik_{x}x}$

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k_{x}^{2}{2m}$

energia delarik.

Antzeko moduan, denborarekiko dependientea den kasuko ekuazioa ebatziz, ondorengo soluzioa lortzen dugu, ondoko irudian ikus daitekeelarik.

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=e^{i(px-wt)}$

Hiru Dimentsiozko Kasua

Problemaren Planteamendua

Lehenik eta behin, denborarekiko independientea den kasuan zentratuko gara. Kasu honetan, erresolbatu beharreko ekuazioa

${\displaystyle {\hat {H}\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} )}$

izanen da, r bektoreak x, y eta z koordinatuak barne hartzen dituelarik. ${\displaystyle {\hat {V}=0}$ izanik, kasu honetan ${\displaystyle {\hat {H}={\hat {T}={\hat {T_{x}+{\hat {T_{y}+{\hat {T_{z}$ da, eta kasu honetan ebatzi beharreko ekuazioa horrela gelditzen zaigu.

${\displaystyle (-{\frac {\hbar ^{2}{2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}{2m}{\partial ^{2} \over \partial y^{2}-{\frac {\hbar ^{2}{2m}{\partial ^{2} \over \partial z^{2})\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}$

Operadorea banangarria denez, goiko ekuazioa hiru ekuazio sinpleagoetan bana daiteke:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}{2m}{d^{2} \over dx^{2}\ \psi (\mathbf {x} )=E_{x}\psi (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}{2m}{d^{2} \over dy^{2}\ \psi (\mathbf {y} )=E_{y}\psi (\mathbf {y} )}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}{2m}{d^{2} \over dz^{2}\ \psi (\mathbf {z} )=E_{z}\psi (\mathbf {z} )}$

Ekuazioen ebazpena eta emaitzak

Goiko hiru ekuazioen emaitzak ezagunak dira, dimentsio bakarreko problemaren baliokideak direlako. Horrela, 3Dko problema ebazteko, 1Dko hiru problema sinpleago erresolbatu behar dira. Horrela, 3Dko soluzioak ondorengoak dira.

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {x} )\psi (\mathbf {y} )\psi (\mathbf {z} )=e^{ikr}$

${\displaystyle E=E_{x}+E_{y}+E_{z}={\frac {\hbar ^{2}k_{x}^{2}{2m}+{\frac {\hbar ^{2}k_{y}^{2}{2m}+{\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}{2m}$

Partikularen denborarekiko eboluzioa kontutan hartuta, ondorengoa lortzen da; p momentua ala k uhin bektorea duen partikularen egoera ω frekuentzia angeluarran ala E energiarekin, uhin-plano konplexuaren bidez ematen da:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }$

A anplitudea delarik. Lotutako zein aske den edozein partikula kuantikorako, Heisenbergen ziurgabetasun printzipioaren arabera

${\displaystyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2},\quad \Delta E\Delta t\geq \hbar }$

betetzen da (y eta z ardatzetan ere), eta De Broglieren erlazioak aplikagarriak dira:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,\quad E=\hbar \omega }$

Energia potentziala zero denez, E energia totala eta energia zinetikoa berdinak dira. Azken honek fisika klasikoan duen forma berdina du.

${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}{2m}=\hbar \omega }$

Bibliografia

• Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546 9
• Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd Edition), R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
• Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
• Elementary Quantum Mechanics, N.F. Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5
• Stationary States, A. Holden, College Physics Monographs (USA), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3
• Quantum mechanics, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum’s Oulines, Mc Graw Hill (USA), 1998, ISBN 007-0540187

Ikus, gainera

• Partikula kutxan harrapatuta

Kanpo estekak