Tangente (trigonometria)

Tangentea (laburtuta tan edo tg) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\overline {CB}{\overline {AC}={\frac {a}{b}$

Arrazoi honen tamainak ez du zerikusirik aukeratuta triangeluaren tamainarekin, baizik eta angeluaren balioarekin.

Regiomontano izan zen, ziurrenik, Europan trigonometria matematikako adar ezberdindu gisa landu zuen lehenengoa. De triangulis omnimodis lanean, 1464koa, eta Tabluae directionumen, beranduago, funtzio tangentea aipatzen zuen, nahiz eta izenik ez zion eman.^[1]

Identitate trigonometriko hau bi angeluren batuketaren identitatetik abiatzen da, dagoeneko sinu eta kosinuarentzat ezagutzen dena. ${\displaystyle \phi ,\theta \ }$ angeluak izanda:

${\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen}(\phi +\theta )}{\cos(\phi +\theta )}$

Lehengo identitateengatik ordezkatuta:

${\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }$

Zatikiaren aldeak ebatziz ${\displaystyle \cos \phi \cos \theta \,}$:

${\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }{\cfrac {\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }$

${\displaystyle \tan \left(\phi +(-\theta )\right)={\frac {\tan \phi +\tan(-\theta )}{1-\tan \phi \tan(-\theta )}$

Funtzio bakoitia denez, hau lortzen da:

${\displaystyle \tan \left(\phi -\theta \right)={\frac {\tan \phi -\tan \theta }{1+\tan \phi \tan \theta }$

${\displaystyle \tan \left(\phi \pm \theta \right)={\frac {\tan \phi \pm \tan \theta }{1\mp \tan \phi \tan \theta }$

Hemendik abiatuz

${\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\frac {\tan \phi +\tan \theta }{1-\tan \phi \tan \theta }$

eta ${\displaystyle \phi =\theta \,}$ eginez, orduan:

${\displaystyle \tan \left(2\phi \right)={\frac {2\tan \phi }{1-\tan ^{2}\phi }$

${\displaystyle \psi }$ angeluaren tangentea ezagututa, ${\displaystyle 3\psi }$ tangentea aurkitu:

${\displaystyle \tan \left(3\psi \right)={\frac {3\tan \psi -\tan ^{3}\psi }{1-3\tan ^{2}\psi }$

${\displaystyle \theta }$ angeluaren erdiaren tangentea aurkitu:^[2]

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }$

Tangentearen deribatua honela kalkulatzen da:

${\displaystyle [\tan(x)]'=\sec ^{2}(x)\,}$

• Sinua
• Kosinua

• Funtzio trigonometrikoak. Hiru.com