کلاف تاری

در ریاضیات، به‌خصوص در توپولوژی، یک کلاف تاری (Fiber Bundle)^[الف] فضایی است که از نظر موضعی یک فضای ضربی هست، اما از لحاظ سراسری ممکن است دارای ساختار توپولوژیکی متفاوتی باشد. به‌خصوص، شباهت بین یک فضای ${\displaystyle \mathrm {E} }$ و یک فضای حاصلضربی ${\displaystyle B\times F}$ با استفاده از نگاشت پوشای پیوستهٔ زیر تعریف شده‌است:

این نگاشت در نواحی کوچکی از ${\displaystyle \mathrm {E} }$ دقیقاً شبیه تصویر متناظرش از ${\displaystyle B\times F}$ به ${\displaystyle \mathrm {E} }$ عمل می‌کند. به نگاشت ${\displaystyle \pi }$ نگاشت تصویری یا سابمرژن می‌گویند. این نگاشت بخشی از ساختار یک کلاف است. فضای ${\displaystyle \mathrm {E} }$ را فضای کل یک کلاف تاری، فضای ${\displaystyle \mathrm {B} }$ را فضای پایه و ${\displaystyle \mathrm {F} }$ را نیز فیبر گویند. در حالت بدیهی، ${\displaystyle \mathrm {E} }$ همان ${\displaystyle B\times F}$ است و نگاشت ${\displaystyle \pi }$ همان نگاشت تصویری از یک فضای ضربی به مؤلفهٔ اولش است. در این حالت به این کلاف یک کلاف بدیهی گویند. مثال‌هایی از کلاف‌های غیر بدیهی شامل نوار موبیوس و بطری کلاین به علاوه فضاهای پوششی غیر بدیهی می‌شود. کلاف‌های تاری چون کلاف مماس یک منیفلد و به‌طور کلی تر کلاف‌های برداری همچون کلاف‌های اصلی نقش مهمی را در هندسه دیفرانسیل و توپولوژی دیفرانسیل بازی می‌کنند.

نگاشت‌های بین فضاهای کل (${\displaystyle \mathrm {E} }$) کلاف‌های برداری که با نگاشت‌های تصویری «جابجا» می‌شوند را به نام نگاشت‌های کلافی می‌شناسند و این دسته از کلاف‌ها تشکیل یک رسته می‌دهند که مورفیسم‌های آن چنین نگاشت‌هایی اند. یک نگاشت کلافی از فضای پایه (که نگاشت تصویری در آن نگاشت همانی است) به ${\displaystyle \mathrm {E} }$ را مقطع ${\displaystyle \mathrm {E} }$ گویند. کلاف‌های تاری را می‌توان به طرق مختلفی به کلاف‌های خاص تبدیل کرد، رایج‌ترین این روش‌ها این است: محدودیتی بگذاریم که انتقالات بین تکه‌های موضعی بدیهی در یک گروه توپولوژی خاص به نام گروه ساختاری قرار گیرند که این گروه بر روی تار ${\displaystyle \mathrm {F} }$ عمل می‌کند.

در توپولوژی، اصطلاح تار (به آلمانی: Faser) و فضای تاری (به آلمانی: Gefaserter Raum) اولین بار در مقاله‌ای از هربرت زایفرت به سال ۱۹۳۳ میلادی پدیدار گشت،^[۱][۲] اما تعاریف او به یک حالت خیلی خاص محدود شده‌است. با این حال، تفاوت اصلی آن با مفهوم امروزینِ فضای تاری این بود: چیزی که اکنون به عنوان فضای پایه‌ای (Base Space) برای یک فضای تاری (توپولوژیکی) چون E شناخته می‌شود، نزد زایفرت بخشی از ساختار تلقی نمی‌شد، بلکه مفهومی بود که از طریق فضای خارج‌قسمتی E از آن مشتق می‌شود. اولین تعریف هسلر ویتنی در ۱۹۳۵ میلادی تحت عنوان فضای کروی ارائه گشت،^[۳] اما در ۱۹۴۰ میلادی ویتنی نام آن را به کلاف کروی تغییر داد.^[۴]

اعتبار نظریه فضاهای تاری که حالت‌های خاص آن شامل این مواردند: کلاف‌های برداری، کلاف‌های اصلی، تارسازی‌های توپولوژیکی و منیفلدهای تاردار، به این افراد نسبت داده می‌شود: زایفرت، هاینتس هوپ، جکوئس فلدباو،^[۵] ویتنی، نورمن استینراد، شارل ارسمان،^[۶][۷][۸] ژان-پی‌یر سر^[۹] و سایرین.

خود کلاف‌های برداری در دوره ۱۹۳۵–۱۹۴۰ میلادی تبدیل به موضوع مطالعاتی شدند. اولین تعریف کلی در کارهای ویتنی پدیدار گشت.^[۱۰]

ویتنی از مطالعاتش بر روی مفهوم خاص‌تری از کلاف‌های برداری به نام کلاف‌های کروی،^[۱۱] به تعریف کلی‌تری از کلاف‌های تاری رسید. کلاف کروی کلافی است که تارهای آن کره‌هایی از بعد دلخواه اند.^[۱۲]