Dirichlet’n konvoluutio

Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa.

Dirichlet'n konvoluutio eli Dirichlet'n tulo on lukuteoreettisille funktioille määritelty matemaattinen operaatio. Operaatio muistuttaa lukujen kertolaskua, mutta lukujen sijaan operoidaan funktioilla. Laskemalla kahden lukuteoreettisen funktion konvoluutio saadaan tulokseksi kolmas lukuteoreettinen funktio. Dirichlet'n konvoluutio on siis samantyyppinen operaatio kuin muutkin konvoluutiot.

Olkoon ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ kaksi lukuteoreettista funktiota, jotka on siis määritelty vain positiivisille kokonaisluvuille. Olkoon ${\displaystyle n}$ mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Dirichlet'n konvoluutio ${\displaystyle f*g}$ määritellään seuraavasti:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d|n,d>0}{f(d)g(n/d)}\,.}$

Tässä ${\displaystyle d|n}$ merkitsee, että ${\displaystyle n}$ on jaollinen ${\displaystyle d}$:llä. Dirichlet'n konvoluutiossa siis lasketaan yhteen kaikki sellaiset termit, joissa kerrotaan keskenään ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ sellaisilla arvoilla, joiden tulo on ${\displaystyle n}$.

Dirichlet'n konvoluutiolla on seuraavat ominaisuudet:

• assosiatiivisuus: ${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h\,\!}$

• kommutatiivisuus: ${\displaystyle f*g=g*f\,\!}$

• distributiivisuus: ${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h\,\!}$

• lukuteoreettisella funktiolla ${\displaystyle f}$ on käänteisalkio ${\displaystyle f^{-1}$ Dirichlet'n konvoluution suhteen silloin ja vain silloin, kun ${\displaystyle f(1)\neq 0}$.

• Esimerkki 1. Määritellään lukuteoreettinen funktio ${\displaystyle E_{0}$ seuraavasti:

${\displaystyle E_{0}(n)=\left\{\begin{matrix}1,&kun&n=1,\\0,&kun&n>1.\end{matrix}\right.}$

Nyt funktion ${\displaystyle E_{0}$ ja minkä tahansa lukuteoreettisen funktion ${\displaystyle f}$ konvoluutioksi saadaan funktio ${\displaystyle f:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(E_{0}*f)(n)&=\sum _{d|n,d>0}{E_{0}(d)f(n/d)}\,\\&=E_{0}(1)f(n)+\sum _{d|n,d>1}{E_{0}(d)f(n/d)}\,\\&=1\cdot f(n)+\sum _{d|n,d>1}{0\cdot f(n/d)}\,\\&=f(n)+0=f(n).\\\end{aligned}$

• Esimerkki 2. Määritellään lukuteoreettiset funktiot ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ seuraavasti:

${\displaystyle f(n)=n\,\!}$

${\displaystyle g(n)=n^{2}.\,\!}$

Lasketaan näiden konvoluution arvo, kun ${\displaystyle n=10}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(10)&=\sum _{d|10,d>0}{f(d)g(10/d)}\,\\&=f(1)\cdot g(10)+f(2)\cdot g(5)+f(5)\cdot g(2)+f(10)\cdot g(1)\\&=1\cdot 10^{2}+2\cdot 5^{2}+5\cdot 2^{2}+10\cdot 1^{2}\\&=100+50+20+10=180.\\\end{aligned}$

Konvoluution arvo voidaan laskea myös toisella tavalla:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(10)&=\sum _{d|10,d>0}{f(d)g(10/d)}\,\\&=\sum _{d|10,d>0}{d\cdot ({\frac {10}{d})^{2}\,=\sum _{d|10,d>0}{\frac {100}{d}\,\\&={\frac {100}{1}+{\frac {100}{2}+{\frac {100}{5}+{\frac {100}{10}\\&=100+50+20+10=180.\\\end{aligned}$

• Matti Jutila & Iiro Honkala: Lukuteoria Syksy 2007. Turun yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007.^{[vanhentunut linkki]}