Heisenbergin kuva on kvanttimekaniikan formalismin yksi muoto. Siinä systeemin tilaa kuvaavat tilavektorit eli aaltofunktiot ovat aikariippumattomia, ja observaabeleita kuvaavat lineaarioperaattorit riippuvat ajasta.
Käyttö
Merkitään suljetun systeemin tilaa merkinnällä
ja observaabelia
kuvaavaa operaattoria merkinnällä
. Alaindeksi H viittaa siis Heisenbergin kuvaan. Jälkimmäinen siis kuvaa tilan
joksikin toiseksi (tai erityisesti identiteettioperaattorin tapauksessa samaksi) saman funktioavaruuden tilaksi
. Toisin sanoen
Koska operaattori riippuu ajasta, myös se funktio johon kuvaus tapahtui riippuu ajanhetkestä
. Itse funktiot ovat kuitenkin määritelmän mukaan aikariippumattomia.
Merkitään tilan
konjugaattitilaa merkinnällä
. Tällöin systeemin ollessa puhtaassa tilassa
observaabelin
odotusarvo
saadaan sisätulosta
missä
on
ja
sisätulo.
Operaattori
toteuttaa Heisenbergin liikeyhtälön
missä
on Diracin vakio,
on systeemin Hamiltonin operaattori ja
on operaattorin
ja Hamiltonin operaattorin kommutaattori. Yhtälön viimeinen termi ottaa huomioon observaabelin määritelmän mahdollisen eksplisiittisen aikariippuvuuden.
Muunnos Schrödingerin kuvan ja Heisenbergin kuvan välillä
Heisenbergin kuva on yhtäpitävä Schrödingerin kuvan kanssa. Tämän voi todistaa seuraavasti. Schrödingerin kuvassa aaltofunktiot riippuvat ajasta Schrödingerin yhtälön mukaan. Tämä voidaan aina ratkaista formaalisti muotoon
Tässä alaindeksi S viittaa Schrödingerin kuvaan. Observaabelin
odotusarvolle pätee tällöin tilassa
Nyt siis
Vastaava todistus voidaan tehdä sekoitetulle tilalle käyttäen tiheysmatriisia. Heisenbergin kuvassa tiheysmatriisi on siis aikariippumaton.
Katso myös