Heronin kolmio

Heronin kolmio on sellainen kolmio, jonka sivujen pituudet ja pinta-ala ovat rationaalilukuja. Myös korkeudet on tällöin rationaalisia. Heronin kolmioita etsittäessä voidaan käyttää Heronin kaavaa. Heronin kaava on nimetty Heron Aleksandrialaisen mukaan, kuten myös Heronin kolmio.

Mikä tahansa kolmio, jonka sivunpituudet on Pythagoraan kolmikko, on Heronin kolmio.

Kolmio jolla ei ole suorakulmaa ja jonka sivujen pituudet on 5, 5, ja 6 ja pinta ala on 12. Tämä kolmio saadaan konstruoitua, kun otetaan kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden sivujen pituudet ovat 3, 4 ja 5. Nämä kolmiot asetetaan siten, että 4:n pituiset sivut ovat vastakkain. Luvut 3, 4 ja 5 muodostavat tunnetusti Pythagoraan kolmikon.

Tämä esimerkki voidaan laajentaa yleiseksi tapaukseksi. Eli oletetaan olevan olemassa Pythagoraan kolmikko(a, b, c) ja valitaan, että c on pisin sivu. Tarvitaan myös toinen Pythagoraan kolmikko (a, d, e), missä e voidaan valita pisimmäksi sivuksi. Nämä kolmiot yhdistetään siten, että sivut a. Näin saadaan kolmio, jonka sivujen pituudet ovat c, e, and b + d. Tällöin kolmion pinta-ala on siis

${\displaystyle A={\frac {1}{2}(b+d)a}$ .

On olemassa Heronin kolmio siten, että se voidaan jakaa kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden sivujenpituudet muodostavat rationaalilukuiset Pythagoraan kolmikot.

Lauseen todistus

Käytetään todistuksessa apuna aiemmin esitettyä esimerkin yleistystä: Olkoon Heronin kolmion sivujen pituudet c, e, b + d ja pinta-ala A määritelmän mukaan rationaalilukuja. Oletetaan myös, että sivu jonka pituus on b + d is on pisin. Jotta saadaan osoitettua, että (a, b, c) and (a, d, e) ovat Pythagoraan kolmikoita täytyy todistaa, että luvut a, b, ja d ovat rationaalisia.

Osoitetaan ensin, että luku "a" on rationaalinen. Koska kolmion pinta-ala on

${\displaystyle A={\frac {1}{2}(b+d)a,}$

niin

${\displaystyle a={\frac {2A}{b+d}.}$

Oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia, siis myös a on rationaaliluku. Osoitetaan sitten, että luvut b ja d ovat rationaalisia. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisille kolmioille pätee, että

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$

ja

${\displaystyle a^{2}+d^{2}=e^{2}.\,}$

Joista saamme, että

${\displaystyle b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}\,}$

ja

${\displaystyle b-d={\frac {c^{2}-e^{2}{b+d}.\,}$

Taas oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia ja siten myös b − d täytyy olla rationaalinen. Oletuksen mukaan b + d on rationaalinen, joten täytyy olla, että b ja d ovat rationaalisia.

Kaavan kaikille Heronin kolmioille kehitti Euler. Tässä on Brahmagubtan ja Carmichaelin esittämä versio:

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})\,}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})\,}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})\,}$

${\displaystyle s=mn(m+n)\,}$

${\displaystyle A=mnk(m+n)(mn-k^{2})\,}$

Missä s on puolikas piiri ja A on pinta-ala. Pätee myös, että

${\displaystyle syt(m,n,k)=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1}$.

Tässä taulukossa on listattu pienimmät sellaiset Heronin kolmiot, joiden sivujen pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1.

• Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian^{[vanhentunut linkki]}
• Wm. Fitch Cheney, Jr., Heronian Triangles Am. Math. Montly 36 (1) (1929) 22-28.
• S. sh. Kozhegel'dinov On fundamental Heronian triangles Math. Notes 55 (2) (1994) 151-156.