Hitausmomentti

Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on

${\displaystyle J=mr^{2}.}$

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

${\displaystyle J=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}.}$

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

${\displaystyle J=\int r^{2}\,dm,}$

missä ${\displaystyle \scriptstyle dm}$ on tiheysjakauma tilan yli. Koska ${\displaystyle \scriptstyle m=\rho V}$, saadaan

${\displaystyle dm=\rho \,dV.}$

• Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
• Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
• Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
• Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
• Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
• Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
• Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu ${\textstyle n}$:stä kappaleesta, joiden massat ovat ${\textstyle m_{\alpha }$, missä ${\textstyle \alpha =1,2,3,\dotsc ,n}$. Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella ${\textstyle {\vec {\omega }$ jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella ${\textstyle {\vec {v}$ ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

${\displaystyle {\vec {v}_{\alpha }={\vec {v}+{\vec {\omega }\times {\vec {r}_{\alpha }$, ^[1]

missä ${\textstyle {\vec {r}_{\alpha }$ kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

${\displaystyle K=K_{\text{trans}+K_{\text{rot}={\frac {1}{2}\sum _{\alpha }m_{\alpha }v^{2}+{\frac {1}{2}\sum _{\alpha }m_{\alpha }({\vec {\omega }\times {\vec {r}_{\alpha })^{2}$. ^[1]

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

${\displaystyle \left({\vec {a}\times {\vec {b}\right)^{2}=\left({\vec {a}\times {\vec {b}\right)\cdot \left({\vec {a}\times {\vec {b}\right)=a^{2}b^{2}-\left({\vec {a}\cdot {\vec {b}\right)^{2}$,

on rotaatioenergia on tällöin

${\displaystyle K_{\text{rot}={\frac {1}{2}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\omega ^{2}r_{\alpha }^{2}-\left({\vec {\omega }\cdot {\vec {r}_{\alpha }\right)^{2}\right)}$. ^[1]

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa ${\textstyle {\vec {\omega }=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})^{\mathbf {T} }$ ja ${\textstyle {\vec {r}_{\alpha }=(x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})^{\mathbf {T} }$. Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

${\displaystyle K_{\text{rot}={\frac {1}{2}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\left(\sum _{i}\omega _{i}^{2}\right)\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\left(\sum _{i}\omega _{i}x_{\alpha ,i}\right)\left(\sum _{j}\omega _{j}x_{\alpha ,j}\right)\right)}$.

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee ${\textstyle \omega _{i}=\sum _{j}\omega _{j}\delta _{ij}$, joten:

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{rot}&={\frac {1}{2}\sum _{\alpha }\sum _{i,j}m_{\alpha }\left(\omega _{i}\omega _{j}\delta _{ij}\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\omega _{i}\omega _{j}x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\\&={\frac {1}{2}\sum _{i,j}\omega _{i}\omega _{j}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\end{aligned}$

Määritellään ${\textstyle \alpha }$-summan ${\textstyle ij}$:s termi suureeksi ${\textstyle J_{ij}$, ts.

${\displaystyle J_{ij}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)}$.

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:

${\displaystyle K_{\text{rot}={\frac {1}{2}\sum _{i,j}J_{ij}\omega _{i}\omega _{j}={\frac {1}{2}J\omega ^{2}$,

missä ${\textstyle J}$ on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä ${\textstyle J_{ij}$ on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa ${\textstyle 3\times 3}$-matriisin alkioiksi:

${\displaystyle \{\mathbf {J} \}=\left\{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,2}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,2}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,1}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,1}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,2}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,2}^{2})\end{matrix}\right\}$^[1]

Matriisia ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}$ kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot ${\textstyle J_{11}$, ${\textstyle J_{22}$ ja ${\textstyle J_{33}$ ovat kappaleen hitausmomentit ${\textstyle x_{1}$-, ${\textstyle x_{2}$- ja ${\textstyle x_{3}$-akselien suhteen.^[1] Jos käytetään koordinaattien ${\textstyle (x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})}$ sijaan karteesisia koordinaatteja ${\textstyle (x_{\alpha },y_{\alpha },z_{\alpha })}$ ja merkitsemällä ${\textstyle r_{\alpha }^{2}=x_{\alpha }^{2}+y_{\alpha }^{2}+z_{\alpha }^{2}$, tensori ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}$ voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:

${\displaystyle \{\mathbf {J} \}=\left\{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-x_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }y_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }x_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-y_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }x_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }y_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-z_{\alpha }^{2})\end{matrix}\right\}$

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. ${\textstyle J_{ij}=J_{ji}$. Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on ${\textstyle \rho =\rho ({\vec {r})}$, niin

${\displaystyle J_{ij}=\iiint _{V}\rho ({\vec {r})\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{k}^{2}-x_{i}x_{j}\right)\,\mathrm {d} V}$,

missä ${\textstyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{3}$ on paikkavektorin ${\textstyle {\vec {r}$ osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja ${\textstyle V}$ on kappaleen tilavuus.^[1]

• Liikemäärä
• Pyörimismäärä
• Steinerin sääntö