Kokonainen funktio

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. Tarkennus: Artikkelista puuttuu lähteet.

Funktioteoriassa kokonainen funktio on holomorfinen funktio koko kompleksitasossa. Tyypillisiä esimerkkejä kokonaisista funktioista ovat polynomit, eksponenttifunktiot ja kokonaisten funktioiden summat, tulot ja yhdisteet. Kokonainen funktio voidaan aina esittää suppenevan potenssisarjan avulla.

Kokonaisella funktiolla voi olla singulariteetti tai jopa oleellinen singulariteetti laajennetun kompleksitason äärettömyyspisteessä, jolloin funktiota kutsutaan transsendenttiseksi kokonaiseksi funktioksi. Liouvillen lauseesta seuraa, että funktio, joka on kokonainen koko Riemannin pallolla, on vakio.

Liouvillen lause antaa kokonaisia funktioita koskien tärkeän tuloksen, jonka mukaan rajoitettu kokonainen funktio on vakio. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää algebran peruslauseen todistukseen. Picardin lause on merkittävä yleistys Liouvillen lauseesta, jonka mukaan ei-vakio kokonainen funktio saa jokaisen kompleksiarvon korkeintaan yhtä lukuun ottamatta. Jälkimmäisestä poikkeuksesta esimerkkinä toimii eksponenttifunktio, joka ei saa arvokseen nollaa missään pisteessä.