Kommutoiva rengas

Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat^[1]. Jos ${\textstyle R}$ on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku (${\textstyle +}$) ja kertolasku (${\textstyle \cdot }$), niin ${\textstyle R}$ on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille ${\textstyle a,b\in R}$ pätee ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$.

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta

• Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen.
• Jäännösluokkarengas ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\oplus ,\odot )}$ on kommutoiva kaikilla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n>1}$, sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään ${\displaystyle {\overline {a}_{n}\odot {\overline {b}_{n}={\overline {(ab)}_{n}$, missä ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$. Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös ${\displaystyle {\overline {a}_{n}\odot {\overline {b}_{n}={\overline {b}_{n}\odot {\overline {a}_{n}$.

• Reaalisten ${\displaystyle 2\times 2}$-matriisien rengas ${\displaystyle ({\mathcal {M}_{2\times 2}(\mathbb {R} ),+,\cdot )}$ ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}$ ja ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}$.

Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!

Olkoon ${\textstyle (R,+,\cdot )}$ kommutoiva rengas. Merkitään renkaan ${\displaystyle R}$ yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio) ${\displaystyle 0_{R}$:llä ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio) ${\displaystyle 1_{R}$:llä. Tällöin

1. Jos kaikilla ${\textstyle a,b\in R}$ ehdosta ${\displaystyle a\cdot b=0_{R}$ seuraa, että ${\displaystyle a=0_{R}$ tai ${\displaystyle b=0_{R}$, niin ${\displaystyle R}$ on kokonaisalue.
2. Jos kaikilla ${\displaystyle a\neq 0_{R}$ yhtälöllä ${\displaystyle a\cdot x=1_{R}$ on ratkaisu ${\displaystyle x\in R}$, niin ${\displaystyle R}$ on kunta.

Jos ${\displaystyle R}$ on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$ on kokonaisalue, muttei kunta).

• Ryhmä (algebra)
• Abelin ryhmä
• Kommutaattori (matematiikka)

• Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Gaudeamus, 2015. ISBN 9789524953610