Nollalla jakaminen

Nollalla jakaminen tarkoittaa jakolaskua, jossa jakaja on nolla. Muodollisesti tällaista jakolaskua merkitään ${\displaystyle {\frac {a}{0}$. Tavallisessa aritmetiikassa ${\displaystyle {\frac {a}{0}$ ei ole määritelty.

Jakolasku määritellään kertolaskun avulla: osamäärä ${\displaystyle {\frac {a}{b}$ tarkoittaa sitä lukua ${\displaystyle c}$, jolla pätee ${\displaystyle b\cdot c=a}$. Oletetaan nyt, että ${\displaystyle a\neq 0}$. Jakolaskun määritelmän mukaan ${\displaystyle {\frac {a}{0}$ on se luku ${\displaystyle c}$, jolla ${\displaystyle 0\cdot c=a}$. Kuitenkin ${\displaystyle 0\cdot c=0\neq a}$ riippumatta luvusta ${\displaystyle c}$. Siis ei ole olemassa lukua ${\displaystyle {\frac {a}{0}$, eli nollalla ei voi jakaa nollasta eroavaa lukua ${\displaystyle a}$.

Myöskään nollaa ei voi jakaa nollalla: mikä tahansa luku ${\displaystyle c}$ toteuttaa yhtälön ${\displaystyle 0\cdot c=0}$, joten ${\displaystyle {\frac {0}{0}=c}$ voisi olla mikä reaaliluku hyvänsä.

Yksi tapa lähestyä nollalla jakamisen ongelmaa on geometrisen summan ${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-x}$ avulla. Tiedetään että summan suppenemissäde on ${\displaystyle |x|<1}$.

Kun sijoitetaan summaan arvo ${\displaystyle x=1}$, saadaan ${\displaystyle {\frac {1}{1-1}=1+1^{2}+1^{3}+\cdots }$. Koska summa ${\displaystyle 1+1+1+\cdots }$ kasvaa rajatta, suureella ${\displaystyle {\frac {1}{0}$ ei ole mielekästä arvoa.

Nollalla jakamista voi tarkastella myös raja-arvojen avulla. Kun ${\displaystyle x}$ lähestyy nollaa oikealta puolelta, kasvaa osamäärä ${\displaystyle 1/x}$ rajoittamattomasti. Kun ${\displaystyle x}$ lähestyy nollaa vasemmalta puolelta, osamäärä ${\displaystyle 1/x}$ vähenee rajatta. Jos siis haluttaisiin määritellä nollalla jakaminen lausekkeen ${\displaystyle 1/x}$ raja-arvona, tulisi osamäärän ${\displaystyle 1/0}$ olla yhtä aikaa sekä äärettömän suuri että äärettömän pieni. Tämä on mahdotonta, joten nollalla jakamista ei voi määritellä tälläkään tavalla.

Jos sallitaan nollalla jakaminen ja oletetaan, että ${\displaystyle 0/0=1}$, voidaan todistaa, että esimerkiksi 2 = 1.

Nollan ominaisuuksista johtuen tiedetään että ${\displaystyle 2\cdot 0=0}$ ja ${\displaystyle 1\cdot 0=0}$. Näin siis on ${\displaystyle 2\cdot 0=1\cdot 0}$. Jakamalla yhtälö puolittain nollalla saadaan ${\displaystyle 2\cdot {\frac {0}{0}=1\cdot {\frac {0}{0}$. Siispä ${\displaystyle 2=1}$.

Jakamalla nollalla on päädytty selvästi ristiriitaiseen johtopäätökseen. Siis nollalla ei voi jakaa.

Reaaliakseli ${\displaystyle \mathbb {R} }$ voidaan laajentaa sisältämään alkiot ${\displaystyle -\infty }$ ja ${\displaystyle \infty }$, jotka sopivasti tulkittuna antavat järkevän määritelmän nollalla jakamiselle.^[1] Joissain matematiikan aloissa, kuten mittateoriassa, tämä on luontevaa sillä usein eteen tulee funktioita, joille esimerkiksi ääretönarvoisuus olisi selkempää määritellä kuin jättää raja-arvojen varaan.

Määrittelemme, että laajennettu reaaliakseli on joukko ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{\infty \}$, missä ${\displaystyle -\infty }$ ja ${\displaystyle \infty }$ ovat alkioita, joille pätee seuraavat ominaisuudet:

• ${\displaystyle -\infty <a<\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle -(\infty )=-\infty }$ ja ${\displaystyle -(-\infty )=\infty }$

• ${\displaystyle \infty +\infty =\infty }$ ja ${\displaystyle \infty \cdot \infty =\infty }$

• ${\displaystyle a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a>0}$

• ${\displaystyle a(-\infty )=(-\infty )a=-\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a>0}$

• ${\displaystyle a\cdot \infty =\infty \cdot a=-\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a<0}$

• ${\displaystyle a(-\infty )=(-\infty )a=\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a<0}$

• ${\displaystyle a+\infty =\infty +a=\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \infty -a=\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle a-\infty =-\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle {\frac {a}{\infty }=0}$ kaikilla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace }$

• ${\displaystyle {\frac {a}{0}=\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a>0\rbrace }$

• ${\displaystyle {\frac {a}{0}=-\infty }$ kaikilla ${\displaystyle a<0\rbrace }$.

Tapauskohtaisesti myös määritellään

• ${\displaystyle 0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0}$ ja ${\displaystyle 0\cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot 0=0}$.

Merkinnät

• ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }$,

• ${\displaystyle {\frac {\infty }{0}$,

• ${\displaystyle {\frac {0}{\infty }$,

• ${\displaystyle \infty -\infty }$ ja

• ${\displaystyle {\frac {0}{0}$

eivät ole määritelty joukossa ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }$.

Tietokoneohjelmoinnissa kokonaislukujen jakolasku, jossa jakaja on nolla, aiheuttaa ohjelman keskeytymisen tai siirtymisen poikkeuskäsittelijään. Liukuluvuilla laskettaessa (hallitsevan IEEE 754 -standardin mukaan) nollia on kaksi: positiivinen nolla ja negatiivinen nolla; näiden voi ajatella kuvaavan esitystarkkuuden rajaa pienempiä lukuja, joista kuitenkin tiedetään etumerkki. Nollalla jakaminen antaa tulokseksi positiivisen äärettömän tai negatiivisen äärettömän riippuen jaettavan ja nollajakajan etumerkeistä. Jos myös jaettava on nolla eli jaetaan nollaa nollalla, tulos on määrittelemätön arvo, jota kutsutaan nimellä Not-a-Number tai lyhenteellä NaN (vakiintumaton suomennos 'epäluku').